字符串编辑距离问题详解

　　字符串的编辑距离也被称为距Levenshtein距离（Levenshtein Distance），属于经典算法，常用方法使用递归，更好的方法是使用动态规划算法，以避免出现重叠子问题的反复计算，减少系统开销。

《编程之美》一书中3.3节中计算两个字符串的相似度，归根到底也是要求两个字符串的距离，其中问题是这样提出的：

　　许多程序会大量使用字符串。对于不同的字符串，我们希望能够有办法判断其相似程序。我们定义一套操作方法来把两个不相同的字符串变得相同，具体的操作方法为：

• 　　　　　　　　修改一个字符（如把"a"替换为"b"）;
• 　　　　　　　　增加一个字符（如把"abdd"变为"aebdd"）;
• 　　　　　　　　删除一个字符（如把"travelling"变为"traveling"）;

　　　　比如，对于"abcdefg"和"abcdef"两个字符串来说，我们认为可以通过增加/减少一个"g"的方式来达到目的。上面的两种方案，都仅需要一 次 。把这个操作所需要的次数定义为两个字符串的距离，而相似度等于"距离+1"的倒数。也就是说，"abcdefg"和"abcdef"的距离为1，相似度 为1/2=0.5。给定任意两个字符串，你是否能写出一个算法来计算它们的相似度呢？    

　　其实这个问题的关键是要求两个字符串的编辑距离。

例如 将kitten一字转成sitting：

1. sitten （k→s）
2. sittin （e→i）
3. sitting （→g）

俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。

问题：找出字符串的编辑距离，即把一个字符串s1最少经过多少步操作变成编程字符串s2，操作有三种，添加一个字符，删除一个字符，修改一个字符。

 

下面我们就针对这个问题来详细阐述一下：

我们假定函数dist(str1, str2)表示字串str1转变到字串str2的编辑距离，那么对于下面3种极端情况，我们很容易给出解答（0表示空串）。

• dist(0, 0) = 0
• dist(0, s) = strlen(s)
• dist(s, 0) = strlen(s)

对于一般的情况，dist(str1, str2)我们应该如何求解呢？

假定我们现在正在求解dist(str1+char1, str2+char2)，也就是把"str1+char1"转变成"str2+char2"。在这个转变过称中，我们要分情况讨论：

1. str1可以直接转变成str2。这时我们只要把char1转成char2就可以了（如果char1 != char2）。
2. str1+char1可以直接转变成str2。这时我们处理的方式是插入char2。
3. str1可以直接转成str2+char2。这时的情况是我们需要删除char1。

　　综合上面三种情况，dist(str1+char1, str2+char2)应该是三者的最小值。

解析：

首先定义这样一个函数——edit(i, j)，它表示第一个字符串的长度为i的子串到第二个字符串的长度为j的子串的编辑距离。

显然可以有如下动态规划公式：

• if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
• if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
• if i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
• if i ≥ 1  且 j ≥ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，当第一个字符串的第i个字符不等于第二个字符串的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。

我们建立以下表格，将两个字符串按照表格1所示的样子进行摆放，规则按照以上公式进行输入，如下所示，我们可以得到每个表格中的值，如下表格2所示：

	0	a	b	c	d	e	f
0
a
c
e

           表格1（字符串摆放表格）

	0	a	b	c	d	e	f
0	0	1	2	3	4	5	6
a	1
c	2
e	3

      表格2（按照规则计算i==0 或 j==0的情况）

 计算edit(1, 1)，edit(0, 1) + 1 == 2，edit(1, 0) + 1 == 2，edit(0, 0) + f(1, 1) == 0 + 1 == 1，min(edit(0, 1)，edit(1, 0)，edit(0, 0) + f(1, 1))==1，因此edit(1, 1) == 1。依次类推，有如下表格3所示最终的矩阵：

	0	a	b	c	d	e	f
0	0	1	2	3	4	5	6
a	1	0	1	2	3	4	5
c	2	1	1	1	2	3	4
e	3	2	2	2	2	2	3

      表格3（最终计算得到的字符串相对距离）

此时右下角即为我们所需要的两个字符串的编辑距离。即字符串 "abcdef"和"ace"的编辑距离为3.

有了以上的步骤，相信大家已经很清楚了，使用动态规划算法的时候，需要建立子问题的表格，以上的表格就是。而且我们能够很容易的使用二维数组建立。代码实现也就易如反掌了！

以下是我的实现过程，希望对大家有用，如果有什么可以优化或者错误的地方，希望能够得到批评指正。

 

  1 #include <iostream>
  2 #include <string>
  3 
  4 using namespace  std;
  5 
  6 int min3Value(int a, int b, int c)
  7 {
  8     int tmp = (a <= b? a:b);
  9     return (tmp<=c? tmp: c);
 10 }
 11 
 12 
 13 int Get2StringEditDis(string strA, string strB)
 14 {
 15     int nLenA = strA.length();
 16     int nLenB = strB.length();
 17     int **matrix = new int *[nLenA + 1];
 18     for (int i = 0; i != nLenA +1; i++)
 19     {
 20         matrix[i] = new int[nLenB + 1];
 21     }
 22     // 动态规划 计算
 23     // 初始化数组
 24     matrix[0][0] = 0;
 25     int p,q; 
 26     // j = 0; edit(i, j) = i
 27     for (p = 1; p!= nLenA+1; p++)
 28     {
 29         matrix[p][0] = p;
 30     }
 31     // i = 0; edit(i,j) = j
 32     for (q=1; q != nLenB+1; q++)
 33     {
 34         matrix[0][q] = q;
 35     }
 36     // i>0, j>0
 37     for (int j = 1; j != nLenA+1; j++)
 38     {
 39         for (int k = 1; k !=  nLenB+1; k++)
 40         {
 41             int Fjk = 0;
 42             if (strA[j-1] != strB[k-1])
 43             {
 44                 Fjk = 1;
 45             }
 46             matrix[j][k] = min3Value(matrix[j-1][k]+1,matrix[j][k-1]+1,matrix[j-1][k-1]+Fjk);
 47         }
 48     }
 49     
 50 
 51 
 52 
 53     // 输出距离矩阵
 54     // 第一行输出字符串b
 55     // 第一列输出字符串A
 56     cout<<"*****************************"<<endl;
 57     cout<<"字符串编辑距离矩阵如下：\n";
 58     for (p = -1; p!= nLenA +1; p++)
 59     {
 60         for (q = -1; q !=nLenB+1; q++)
 61         {
 62             //cout.width(3),cout<<matrix[p][q];
 63             cout.width(3);
 64             if (p ==-1 && q == -1)
 65             {
 66                 cout<<" ";
 67             }
 68             else if (p + q == -1)
 69             {
 70                 cout<<"NUL";
 71             }
 72             else if (p == -1 && q >0)
 73             {
 74                 cout<<strB[q-1];
 75             }
 76             else if(q == -1 && p > 0)
 77             {
 78                 cout<<strA[p-1];
 79             }
 80             else
 81             {
 82                 cout<<matrix[p][q];
 83             }
 84         }
 85         cout<<endl;
 86     }
 87     cout<<"*****************************"<<endl;
 88     //
 89     int  nEditDis = matrix[nLenA][nLenB];
 90     for (int m = 0; m!=nLenA + 1; m++)
 91     {
 92         delete[] matrix[m];
 93     }
 94     delete[] matrix;
 95 
 96 
 97     return  nEditDis;
 98 }
 99 
100 
101 int main()
102 {
103     string strA("abcdefgh");
104     string strB("adgcf");
105 
106     int nDist = Get2StringEditDis(strA,strB);
107     cout<<"The edit dis is  "<<nDist<<endl;
108 
109     return 0;
110 }

 

结果如图1所示：

其中对于另一篇随笔中有亚马逊今年的在线笔试题中，有一道该类型题目的变种~~~ 大家可以翻阅下！地址： http://www.cnblogs.com/jiabei521/p/3352935.html