统计知识选讲（三）——因子分析的思想

    因子分析如同主成分分析（PCA）一样也是一种降维的方法，其思想与PCA也是相似的。它们最直观的区别在于因子分析是要构造出新的因子构造因子模型，而并非仅仅将原始变量的线性组合表示新的综合变量（PCA的升级版）。

    因子分析形式类似一个多元线性回归过程。首先要假象有一些公共因子和特殊因子，公共因子是不可观测的变量，而特殊因子是不能被公共因子包含的部分（随机部分），利用这些因子变量我们来线性表示原始变量，公共因子前的系数称为载荷因子。注意：因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义；另外，回归系数和载荷因子的形式和含义是截然不同的。

    因子模型形式：

   

    这里做如下几个假设：var(F)=1，公共因子和特殊因子不相关，各公共因子和特殊因子之间也不相关。

   

    对变量X进行标准化变换，则Cov（X）等于X的相关系数矩阵R。于是：

   

    我们需要利用上式解出A。如果没有D，能不能解出A呢？此时只用将R进行对角化，就可以求了（这里体现了与PCA的联系之处）。现在由于D的存在，所以理论上我们只能对R*进行对角化才能求A，不幸的是R*是不知道的，很容易想到需要估计D。进一步思考，D只是个对角阵，所以其实上需要估计的就是R*上对角线上的值（其余值与R是一样的，也就是说样本方差部分被分解成两个部分了）。如果假设R*对角线为1，实际上就是没有D的情况，这就是主成分分析！当然，也可以利用其它方法来估计R*的对角线。这样就可以得到公共因子前的系数A（载荷因子）。

    新的问题又出现了，这些公共因子是我们事先假设的，它们究竟在实际问题中代表什么含义？载荷矩阵不是唯一的，那么哪个载荷矩阵才是我们需要的？如何理解利用因子分析对个变量进行分类？这些下节将会详细叙述。