矩阵链乘法最优结合问题
一、《问题的引出》
看下面一个例子,计算三个矩阵连乘{A1,A2,A3};维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50
按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次
按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10X5X50+10X100X50=75000次
所以问题是:如何确定运算顺序,可以使计算量达到最小化。
二、问题描述
已知:给定n个矩阵构成的一个矩阵链(A1, A2, ..., An),矩阵Ai的维数为pi-1×pi
求:决定该矩阵链的乘法结合顺序(即加括号),使得矩阵链乘法的运行时间最短
三、几个前提概念
矩阵链乘法的运行时间将以乘法(单行×单列)的次数来衡量
A是p×q矩阵,B是q×r矩阵,则A×B的运行时间为pqr
矩阵乘法满足结合律
四、首先判断是否具有最优子结构
假设Ai...Aj的矩阵链乘法的最优解是在Ak与Ak+1之间分开的,即(Ai...Ak)(Ak+1...Aj),则子序列也必须是矩阵链乘法的最优解。
由此可知,问题的最优解包含子问题的最优解,满足最优子结构
五、递归表达式
设m[i, j]为矩阵链Ai...Aj的乘法的最短运行时间,m[1, n]即为问题所求的最优解的值
设s[i, j]为运行时间为m[i, j]时的k值,此函数用于递归构造最优解
递归表达式如下
其中矩阵Ai的维数为pi-1 x pi
六、然后进行自底向上的求解
矩阵m是一个上三角矩阵(不需要考虑i>j的情况),且对角线上的元素值均为0
由上面的递归表达式知,m[i, j]的值只取决于m[i, k]和m[k+1, j](k≥i且k<j),
因此自底向上的求解过程实际是按子序列的长度递增来进行的
最后构造最优解
在推导过程中记录s[i, j]的值,用于递归构造最优解(即矩阵链的圆括号添加顺序)
import java.util.Scanner;
public class MatrixChain {
private int[] p;
private long[][] m;
private int[][] s;
public MatrixChain(int[] p,long[][] m,int[][] s){
this.p=p;
this.m=m;
this.s=s;
}
public long matrixChain() {
int n = p.length - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
m[i][i] = 0;
}
for (int r = 2; r <= n; r++) {
for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {
int j = i + r - 1;
m[i][j] = m[i][i]+m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];
s[i][j] = i;
for (int k = i + 1; k < j; k++) {
long t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
if (t < m[i][j]) {
m[i][j] = t;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
return m[1][n];
}
public void printResult(int i,int j)//输出最优加括号方式
{
if(i==j)
System.out.print("A"+i);
else{
System.out.print("(");
printResult(i,s[i][j]);
printResult(s[i][j]+1,j);
System.out.print(")");
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner in=new Scanner(System.in);
int n=in.nextInt()+1;//矩阵个数
int p[]=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++)
p[i]=in.nextInt();//矩阵维数
long m[][] = new long[n][n];
int s[][] = new int[n][n];
MatrixChain mc = new MatrixChain(p,m,s);
System.out.println("最短运行时间="+mc.matrixChain());
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
System.out.print(m[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println();
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
System.out.print(s[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("最好的结合顺序");
mc.printResult(1,n-1);
}
}
两次运行:
C:\test>java MatrixChain
4
50 10 40 30 5
最短运行时间=10500
0 20000 27000 10500
0 0 12000 8000
0 0 0 6000
0 0 0 0
0 1 1 1
0 0 2 2
0 0 0 3
0 0 0 0
最好的结合顺序
(A1(A2(A3A4)))
C:\test>java MatrixChain
6
30 35 15 5 10 20 25
最短运行时间=15125
0 15750 7875 9375 11875 15125
0 0 2625 4375 7125 10500
0 0 0 750 2500 5375
0 0 0 0 1000 3500
0 0 0 0 0 5000
0 0 0 0 0 0
0 1 1 3 3 3
0 0 2 3 3 3
0 0 0 3 3 3
0 0 0 0 4 5
0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0
最好的结合顺序
((A1(A2A3))((A4A5)A6))
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