【模线性方程】POJ 2115 【更新日期2011-11-18】

http://poj.org/problem?id=2115

题意：转化成c * x = b - a mod (2 ^ k)，解这个模线性方程的最小正整数解即可

Sample Input
3 3 2 16
3 7 2 16
7 3 2 16
3 4 2 16
0 0 0 0

Sample Output
0
2
32766
FOREVER

解方程：ax == b (mod n);【ax % n == b % n】
设线性模方程的一个解为x0
条件①：有d = gcd(a, n)
条件②：有d = ax1 + ny, 由扩展欧几里得(Egcd)得到x1的值
条件③：b % d == 0 (有解的条件)
对条件③进行解释：
原方程化为：ax + kn = b (设k为某一整数)
那么如果a与n的最大公约数为d，那么ax + kn 必然可以提取一个d的因子，也就是说b必然有d这个因子，所以如果b%d!=0，说明b没有d这因子，与前面的结论相互矛盾，所以无解

则x0 = x1*(b/d);

证明：
因为：容易求得d = gcd (a, n), 则存在一个x1、y使得d = ax1 + ny①(扩展欧几里得定理，这个都不会的话，说明你数论还没入门)
方程①2边同时模n得：d % n == ax1 % n②
又因为：b % d == 0, 即b是d的倍数;
所以(b/d)必为整数;
所以由②得： b % n == d*(b/d) % n == ax1*(b/d) % n == ax % n
所以很容易可以看出x = x1*(b/d)是方程的一个整数解，得证

参考文献：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
//#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
//#include <ctime>
#include <ctype.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define inf 0x3fffffff

LL Egcd (LL a, LL b, LL &x, LL &y)    //扩展欧几里得
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	LL d = Egcd (b, a%b, x, y);
	LL tp = x;
	x = y;
	y = tp - a/b*y;
	return d;
}

void MLE (LL a, LL b, LL n)    //解模线性方程
{
	LL d, x, y;
	d = Egcd (a, n, x, y);
	if (b % d)
	{
		puts ("FOREVER");
		return ;
	}
	LL x0 = x * (b/d);
	LL t = n / d;
	if (t < 0) t = -t;	//以防万一，有的题目t有可能是负数
	x0 = (x0 % t + t) % t;
//防止负数出现，所以先模后加再模，再模是因为如果是正数，+n/d可能会超出n/d   
//对于无数个解形成的一群余数：周期个数是d，周期长度是n/d，也就是最小正整数解在n/d里，这个听老师说过，但是忘了为什么，涉及到群的概念……   
	printf ("%lld\n", x0);
}

int main()
{
	LL a, b, c, k;
	while (scanf ("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &k), (a||b||c||k))
		MLE (c, b-a, 1LL<<k);
	return 0;
}