地图投影公式转换

地图投影公式转换

墨卡托投影坐标系(Mercator Projection)

墨卡托投影(Mercator Projection),又称为“等角正轴圆柱投影”,是一种“等角正切圆柱投影”,荷兰地图学家墨卡托(Mercator)在1569年拟定,假设地球被围在一个中空的圆柱里,其赤道与圆柱相接触,然后再假想地球中心有一盏灯,把球面上的图形投影到圆柱体上,再把圆柱体展开,这就是一幅标准纬线为零度(即赤道)的“墨卡托投影”绘制出的世界地图

墨卡托投影以整个世界范围,赤道作为标准纬线,本初子午线作为中央经线,两者交点为坐标原点,向东向北为正,向西向南为负。南北极在地图的正下、上方,而东西方向处于地图的正右、左。由于墨卡托投影在两极附近是趋于无限值,因此它并没完整展现了整个世界,地图上最高纬度是85.05度。为了简化计算,我们采用球形映射,而不是椭球体形状。虽然采用MercatorProjection只是为了方便展示地图,需要知道的是,这种映射会给Y轴方向带来0.33%的误差。

由于赤道半径为r(6378137米),则赤道周长为c(2*PI*r),x轴的取值范围为xs。当纬度φ接近两极,即90°时y值趋向于无穷。因此通常y轴的取值范围与x轴相同。因此在墨卡托投影展开的全局坐标系(米)下的坐标范围是:最小坐标值为minExtent,最大坐标为maxExtent。

经纬度展开计算公式:

r = 6378137 // 地球半径(单位米)

c = 2 * PI * r = 20037508.3427892 * 2 // 地球周长

xs = [-20037508.3427892,20037508.3427892] //x方向取值范围

ys = [-20037508.3427892,20037508.3427892] // y方向取值范围

minExtent = (-20037508.3427892, -20037508.3427892) // 左下角坐标(最小坐标)

maxExtent = (20037508.3427892, 20037508.3427892) // 右上角坐标(最大坐标)

地理坐标系(Geographical coordinates)

地理经度的取值范围是[-180,180],纬度不可能到达90°,通过纬度取值范围ys反解计算可得到纬度值为85.05112877980659。因此纬度取值范围是lats。因此,地理坐标系(经纬度)对应的范围是,最小地理坐标minPoint,最大地理坐标maxPoint。

lats = [-85.05112877980659,85.05112877980659] // 纬度取值范围

minPoint = (-180, -85.05112877980659) //左下角经纬度坐标

maxPoint = (180, 85.05112877980659) //右上角经纬度坐标

地面分辨率(Ground Resolution)

地面分辨率是以一个像素(pixel)代表的地面尺寸(米)。以微软Bing Maps为例,当Level为1时,图片大小为512*512(4个256像素的Tile),那么赤道空间分辨率为:赤道周长/512。其他纬度的空间分辨率则为纬度圈长度/512,极端的北极则为0。Level为2时,赤道的空间分辨率为赤道周长/1024,其他纬度为纬度圈长度1024。很明显,地面分辨率(Ground Resolution)取决于两个参数,缩放级别Level和纬度latitude ,Level决定像素的多少,latitude决定地面距离的长短。

地面分辨率的公式:
地面分辨率= (cos(latitude * PI/180) * 6378137 meters)* 2 * PI / (256 * 2 level pixels)
简易公式:地面分辨率= 2 * PI * r / 256 * 2 level
最低地图放大级别(1级),地图是512 x 512像素。每下一个放大级别,地图的高度和宽度分别乘于2:2级是1024 x 1024像素,3级是2048 x 2048像素,4级是4096 x 4096像素,等等。通常而言,地图的宽度和高度可以由以下式子计算得到:map width = map height =256 * 2 level pixels。

地图比例尺(Map Scale)
地图比例尺是指测量相同目标时,地图上距离与实际距离的比例。通过地图分辨率在计算可知由Level可得到图片的像素大小,那么需要把其转换为以米为单位的距离,涉及到DPI(dot per inch),暂时可理解为类似的PPI(pixel per inch),即每英寸代表多少个像素。256 * 2 level / DPI 即得到相应的英寸inch,再把英寸inch除以0.0254转换为米。实地距离仍旧是:length。

比例尺计算公式:

dot = 256 * 2level / 0.0254/ dpi //地面分辨率

length = (cos(latitude * PI / 180)* 2 * PI * 6378137) // 实际长度

mapscale = dot / length

mapscale = 1 : resolution * dpi / 0.0254 // 单位米/英尺

比例尺= 1 : (length * dpi)/ (256 * 2 level * 0.0254)

BingMap像素坐标系和地图图片编码

为了优化地图系统性能,提高地图下载和显示速度,所有地图都被分割成256 x 256像素大小的正方形小块。由于在每个放大级别下的像素数量都不一样,因此地图图片(Tile)的数量也不一样。每个tile都有一个XY坐标值,从左上角的(0, 0)至右下角的(2level–1, 2level–1)。例如在3级放大级别下,所有tile的坐标值范围为(0, 0)至(7, 7),已知一个像素的XY坐标值时,我们很容易得到这个像素所在的Tile的XY坐标值:

tileX = floor(pixelX / 256)

tileY = floor(pixelY / 256)

为了简化索引和存储地图图片,每个tile的二维XY值被转换成一维字串,即四叉树键值(quardtree key,简称quadkey)。每个quadkey独立对应某个放大级别下的一个tile,并且它可以被用作数据库中B-tree索引值。为了将坐标值转换成quadkey,需要将Y和X坐标二进制值交错组合,并转换成4进制值及对应的字符串。例如,假设在放大级别为3时,tile的XY坐标值为(3,5),quadkey计算如下:

tileX = 3 = 011(二进制)
tileY = 5 = 101(二进制)
quadkey = 100111(二进制)= 213(四进制)= “213”

Quadkey还有其他一些有意思的特性。第一,quadkey的长度等于该tile所对应的放大级别;第二,每个tile的quadkey的前几位和其父tile(上一放大级别所对应的tile)的quadkey相同,下图中,tile 2是tile 20至23的父tile,tile 13是tile 130至133的父级;最后,quadkey提供的一维索引值通常显示了两个tile在XY坐标系中的相似性。换句话说,两个相邻的tile对应的quadkey非常接近。这对于优化数据库的性能非常重要,因为相邻的tile通常被同时请求显示,因此可以将这些tile存放在相同的磁盘区域中,以减少磁盘的读取次数。


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