解线性方程组——高斯消元法
例：ZOJ3645
题意：高斯消元模板题(浮点型)
/**
高斯消元求解线性方程组.
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
///高斯消元模板
const double eps = 1e-12;
const int Max_M = 15; ///m个方程,n个变量
const int Max_N = 15;
int m, n;
double Aug[Max_M][Max_N+1]; ///增广矩阵
bool free_x[Max_N]; ///判断是否是不确定的变元
double x[Max_N]; ///解集
int sign(double x){ return (x>eps) - (x<-eps);}
/**
返回值:
-1 无解
0 有且仅有一个解
>=1 有多个解,根据free_x判断哪些是不确定的解
*/
int Gauss()
{
int i,j;
int row,col,max_r;
for(row=0,col=0; row<m&&col<n; row++,col++)
{
max_r = row;
for(i = row+1; i < m; i++) ///找到当前列所有行中的最大值(做除法时减小误差)
{
if(sign(fabs(Aug[i][col])-fabs(Aug[max_r][col]))>0)
max_r = i;
}
if(max_r != row) ///将该行与当前行交换
{
for(j = row; j < n+1; j++)
swap(Aug[max_r][j],Aug[row][j]);
}
if(sign(Aug[row][col])==0) ///当前列row行以下全为0(包括row行)
{
row--;
continue;
}
for(i = row+1; i < m; i++)
{
if(sign(Aug[i][col])==0)
continue;
double ta = Aug[i][col]/Aug[row][col];
for(j = col; j < n+1; j++)
Aug[i][j] -= Aug[row][j]*ta;
}
}
for(i = row; i < m; i++) ///col=n存在0...0,a的情况,无解
{
if(sign(Aug[i][col]))
return -1;
}
if(row < n) ///存在0...0,0的情况,有多个解,自由变元个数为n-row个
{
for(i = row-1; i >=0; i--)
{
int free_num = 0; ///自由变元的个数
int free_index; ///自由变元的序号
for(j = 0; j < n; j++)
{
if(sign(Aug[i][j])!=0 && free_x[j])
free_num++,free_index=j;
}
if(free_num > 1) continue; ///该行中的不确定的变元的个数超过1个,无法求解,它们仍然为不确定的变元
///只有一个不确定的变元free_index,可以求解出该变元,且该变元是确定的
double tmp = Aug[i][n];
for(j = 0; j < n; j++)
{
if(sign(Aug[i][j])!=0 && j!=free_index)
tmp -= Aug[i][j]*x[j];
}
x[free_index] = tmp/Aug[i][free_index];
free_x[free_index] = false;
}
return n-row;
}
///有且仅有一个解,严格的上三角矩阵(n==m)
for(i = n-1; i >= 0; i--)
{
double tmp = Aug[i][n];
for(j = i+1; j < n; j++)
if(sign(Aug[i][j])!=0)
tmp -= Aug[i][j]*x[j];
x[i] = tmp/Aug[i][i];
}
return 0;
}
///模板结束
int main()
{
int i,j;
int t;
double a[12][12];
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
memset(Aug,0.0,sizeof(Aug));
memset(x,0.0,sizeof(x));
memset(free_x,1,sizeof(free_x)); ///都是不确定的变元
for(i = 0; i < 12; i++)
for(j = 0; j < 12; j++)
scanf("%lf",&a[i][j]);
double sum=0;
for(int i=0;i<11;i++)
sum+=a[11][i]*a[11][i];
for(int i=0;i<11;i++)
{
for(int j=0;j<11;j++)
{
Aug[i][j]=2*(a[i][j]-a[11][j]);
Aug[i][11]+=a[i][j]*a[i][j];
}
Aug[i][11]+=-a[i][11]*a[i][11]+a[11][11]*a[11][11]-sum;
}
m = n = 11;
Gauss();
for(int i = 0; i < n; i++)
{
printf("%.2lf",x[i]);
printf("%c",i==n-1?'\n':' ');
}
}
return 0;
}
开关问题POJ1830
题意：有n(n<29)个开关,每个开关的状态用0/1表示关/开.
开关之间存在着某些联系,比如打开或关闭某个开关,与它相关的某些开关也会发生变化,即原来为开/关,现在变为关/开.
经过若干次操作后,由初始状态为s变为末端状态为t(s,t均为长度为n的01串).
问有多少种方法可以将s变为t,每个开关最多只能动一次,不考虑开关操作的顺序.
输入格式:
开关个数n
初始状态s和目标状态t(01串)
若干整数对(i,j),表示对开关i的操作,开关j的状态也会发生改变.
解:
利用矩阵思想A*x=b,其中A为n*n的变换矩阵，x,b均为列矩阵;
x 表示对n个开关的操作,1表示动它,0表示不动它,显然最后是求解的个数.
A[i][j]=1表示若操作开关j会引起i的变化.
b 表示若开关i的初始状态和目标状态不同,则b[i]=1,否则b[i]=0.即b表示最终所有开关的变化状态.0为不变,1为变.
b[i] = ^(A[i][j]*x[j]),0<=j<=n.
**********理解*********
考虑最终开关i状态的变化:
j!=i
若x[j]=1, 表示对开关j进行操作
若A[i][j]=1,表示开关j对i有影响,即A[i][j]*x[j]=1,此时开关i状态改变;
若A[i][j]=0,表示虽然对j操作,但开关j对i却没有影响,即A[i][j]*x[j]=0,此时开关i状态不变;
若x[j]=0, 表示不对开关j操作,显然对i的状态也没有影响,即A[i][j]*x[j]=0,此时开关i状态不变.
异或方程组的消元类似于普通方程组的消元：
若有ax + by = p，cx + dy = q，则有(a+c)x + (b+d)y = p+q；
同理：若有ax ^ by = p，cx ^ dy = q，则有(a^c)x ^ (b^d)y = p^q。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
///高斯消元模板
const int Max_M = 35;
const int Max_N = 35;
int Aug[Max_M][Max_N];
int m,n; ///m个方程,n个未知数
int Gauss()
{
int i,j;
int max_r,row,col;
for(col=0,row=0; row<m && col<n; row++,col++)
{
max_r = row;
for(i = row+1; i < m; i++)
{
if(Aug[i][col] > Aug[max_r][col])
max_r = i;
}
if(max_r != row)
{
for(j = row; j < n+1; j++)
swap(Aug[max_r][j],Aug[row][j]);
}
if(Aug[row][col]==0)
{
row--;
continue;
}
for(i = row+1; i < m; i++)
{
if(Aug[i][col]==0)
continue;
for(j = col; j < n+1; j++)
Aug[i][j] ^= Aug[row][j];
}
}
for(i = row; i < m; i++)
{
if(Aug[i][col] != 0)
return -1;
}
return 1<<(n-row); ///n-row个变元,只有0/1两种取值
}
///end
int main()
{
int i,j;
int t;
int nn;
int start[30],end[30];
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
m = n = 0;
memset(Aug,0,sizeof(Aug));
scanf("%d",&nn);
for(i = 0; i < nn; i++)
scanf("%d",&start[i]);
for(i = 0; i < nn; i++)
scanf("%d",&end[i]);
while(true)
{
scanf("%d %d",&i,&j);
if(!i&&!j)
break;
Aug[j-1][i-1] = 1;
}
n = m = nn;
for(i = 0; i < n; i++)
{
Aug[i][i] = 1;
Aug[i][n] = start[i]^end[i];
}
int ret = Gauss();
if(ret==-1)
printf("Oh,it's impossible~!!\n");
else
printf("%d\n",ret);
}
return 0;
}
ps: 其实当时看到这题是用双向枚举过的，正向和逆向的复杂度为O(2^(n/2))，对于n比较小的也足够了，大了还是得用高斯消元解异或方程。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MaxN = 30;
int nn; ///开关数<29
int start,end;
int ch[MaxN]; ///chp[i]表示拨动开关i,会引发的状态改变
bool flag[MaxN][MaxN]; ///防止输入对IJ重复
map<int,int> vis; ///记录状态及出现的次数
map<int,int>::iterator mit;
int result; ///次数
///枚举1..mid开关的所有情况,共2^mid种
void Forward(int mid)
{
int i,j,k;
int Max = 1<<mid;
for(i = 0; i < Max; i++)
{
j = i;
k = 0;
int now = start;
while(j)
{
if(j&1)
now = now ^ ch[k];
j >>= 1;
k++;
}
mit = vis.find(now);
if(mit == vis.end())
vis.insert(make_pair(now,1));
else
mit->second++;
}
}
void Backward(int mid)
{
int i,j,k;
int Max = 1<<(nn-mid);
for(i = 0; i < Max; i++)
{
j = i;
k = mid;
int now = end;
while(j)
{
if(j&1)
now = now ^ ch[k];
j >>= 1;
k++;
}
mit = vis.find(now);
if(mit!=vis.end())
result += mit->second;
}
}
int main()
{
int i,j;
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
result = 0;
start = end = 0;
vis.clear();
memset(flag,0,sizeof(flag));
scanf("%d",&nn);
for(i = 0; i < nn; i++)
ch[i] = 1<<i,flag[i][i]=true;
for(i = 0; i < nn; i++)
{
scanf("%d",&j);
if(j) start += 1<<i;
}
for(i = 0; i < nn; i++)
{
scanf("%d",&j);
if(j) end += 1<<i;
}
while(true)
{
scanf("%d %d",&i,&j);
if(!i&&!j)
break;
if(!flag[i-1][j-1])
ch[i-1] += 1<<(j-1),flag[i-1][j-1]=true;
}
Forward(nn/2);
Backward(nn/2);
if(result==0)
printf("Oh,it's impossible~!!\n");
else
printf("%d\n",result);
}
return 0;
}