Catalans 猜想

Catalan’s 猜想

猜想：「在所有整數的所有次方所組成的數列中，唯一的連續整數只有8和9」

這是個看來簡單的問題，卻包含著整個數論結構，甚至讓許多著名的數學家陷入困境。如同費馬最後定理一般，看來簡單、逗趣的數論問題，卻又十分捉弄人，許多數學家經過幾個世紀的努力才將他證明出來。

如今，德國Paderborn大學的Perda Mihailescu，終於發現如何證明這涉及到整個自然數次方，令人肅然可敬的問題 (泰羅尼亞猜想) 的關鍵。首先，考慮所有整數的所有次方所組成的數列：4,8,9,16,25,27,36,…。在這數列當中，8和9不但是整數的次方數，也是個連續整數。

1844年，比利時數學家Eugene Charles Catalan (1814~1894)提出猜想：「在所有整數的所有次方所組成的數列中，唯一的連續整數只有8和9」 如果要解決Catalan的問題，必須尋找所有滿足方程式<shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><stroke joinstyle="miter"></stroke><formulas><f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></f><f eqn="sum @0 1 0"></f><f eqn="sum 0 0 @1"></f><f eqn="prod @2 1 2"></f><f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></f><f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></f><f eqn="sum @0 0 1"></f><f eqn="prod @6 1 2"></f><f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></f><f eqn="sum @8 21600 0"></f><f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></f><f eqn="sum @10 21600 0"></f></formulas><path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></path><lock v:ext="edit" aspectratio="t"></lock></shapetype><shape id="_x0000_i1025" style="WIDTH: 57.75pt; HEIGHT: 18pt" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></imagedata></shape> 其中<shape id="_x0000_i1026" style="WIDTH: 44.25pt; HEIGHT: 12.75pt" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image003.wmz" o:title=""></imagedata></shape> 都大於1的整數解，此猜想說：方程的唯一解為：<shape id="_x0000_i1027" style="WIDTH: 54pt; HEIGHT: 15.75pt" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image005.wmz" o:title=""></imagedata></shape>

有趣的是，在Catalan猜想提出前500年，Levi ben Gerson (1288~1344) 已經證明出在所有整數的平方和立方數中，相差為1的整數只有<shape id="_x0000_i1028" style="WIDTH: 14.25pt; HEIGHT: 15.75pt" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image007.wmz" o:title=""></imagedata></shape> 和<shape id="_x0000_i1029" style="WIDTH: 14.25pt; HEIGHT: 15pt" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image009.wmz" o:title=""></imagedata></shape> 。

1976年，紐西蘭Leiden大學的Robert Tijdeman對此問題有關鍵性的突破：不管此猜想是否成立，它有可能的整數解並非無限多個，而是有限個解。而且，指數p及q的數字必定小於某個數值，起初他證明這個數字非常龐大，後來他將之簡化成較易控制的程度。

2000年，Mihailescu證明，如果方程式存在其它的解，此解的指數數對一定是某種罕見的形式，稱作：Double Wieferich Primes。這對質數遵守下列規則：<shape id="_x0000_i1030" style="WIDTH: 29.25pt; HEIGHT: 18pt" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image011.wmz" o:title=""></imagedata></shape> 除以<shape id="_x0000_i1031" style="WIDTH: 15pt; HEIGHT: 18pt" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image013.wmz" o:title=""></imagedata></shape> 餘1，<shape id="_x0000_i1033" style="WIDTH: 27.75pt; HEIGHT: 18pt" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image015.wmz" o:title=""></imagedata></shape> 除以也餘<shape id="_x0000_i1032" style="WIDTH: 15.75pt; HEIGHT: 18pt" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image017.wmz" o:title=""></imagedata></shape> 。雙Wieferich質數非常之罕見，目前只找到六個：(2,1093)、(3,1006003)、(5,1645333507)、(83,4871)、(911,318917)、(2903,18787)，而其中沒有一個滿足Cantalan猜想的式子。

Mihailescu繼續在此猜想上努力。在今年年初，他似乎突然開竅似的證明出來，Mihailescu說，他的證明利用到先前雙Wieferich質數的結果。

自目前為此，Mihailescu的證明並非絕對的可信，但卻有十分可能的徵兆，法國Talence境內Bordeaux I 大學的Yuri F. Bilu已分析Mihailescu的證明，並為它寫下主要步驟的概要及有趣的評論，它說：「我確信Mihailescu的證明是對的！」

2002年3月24日，Mihailescu在蒙特婁市 (加拿大東南部港市) 的加拿大數論協會中，第一次發表他的證明，他的證明被接納，並得到許多卓越的數論學家的正面回應。

這麼看來，Cantalan猜想即將步入數學大定理的殿堂中！

转自 數學欣賞