不相交集合 - 并查集

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恩，前两周学习了并查集，是时候总结一下了。

等价关系与等价类

从数学上看，等价类是一个对象(或成员)的集合，在此集合中的所有对象应满足等价关系。若用符号"≡"表示集合上的等价关系，那么对于该集合中的任意对象x,y, z，下列性质成立：

1、自反性：x ≡ x

2、对称性：若 x ≡ y 则 y ≡ x

3、传递性：若 x ≡ y 且 y ≡ z 则 x ≡ z

因此，等价关系是集合上的一个自反、对称、传递的关系。

通过金属线连接起来的电器的连通性，就是一种等价关系。这种关系显然具有自反性，因为任何一个器件都是与自身连通的；如果a 电连通b，那么b一定也电连通a，因此这种关系具有对称性； 若a连通到b，并且b连通到c，那么a连通到c 。

并查集

并查集的一般用途就是用来维护某种具有自反、对称、传递性质的关系的等价类。并查集一般以树形结构存储，多棵树构成一个森林，每棵树构成一个集合，树中的每个节点就是该集合的元素，找一个代表元素作为该树(集合)的祖先。

并查集支持以下三种操作：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，只要找到这个元素所在集合的祖先即可。判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：首先设置一个数组Father[x]，表示x的"父亲"的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合的祖先，将另外一个集合的祖先指向它。

并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩

寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？

答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回归"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了。

2、Union(x,y)时 按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

主要代码实现

1 2 3 4

/* father[x]表示x的父节点 */ int father[MAX]; /* rank[x]表示x的秩 */ int rank[MAX];

1 2 3 4 5 6

/* 初始化集合 */ void Make_Set(int x) { father[x] = x; rank[x] = 0; }

1 2 3 4 5 6 7 8 9

/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径 */ int Find_Set(int x) { if (x != father[x]) { father[x] = Find_Set(father[x]); } return father[x]; }

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

/* 按秩合并x,y所在的集合 */ void Union(int x, int y) { x = Find_Set(x); y = Find_Set(y); if (x == y) return; if (rank[x] > rank[y]) { father[y] = x; } else { if (rank[x] == rank[y]) { rank[y]++; } father[x] = y; } }