向量几何在游戏编程中的使用系列五之-3D空间中的基变换与坐标变换

3-D空间中的基变换与坐标变换

　　一、空间坐标系的基和基矩阵

　　在3-D空间中，我们用空间坐标系来规范物体的位置，空间坐标系由3个相互垂直的坐标轴组成，我们就把它们作为我们观察3-D空间的基础，空间中物体的位置可以通过它们来衡量。当我们把这3个坐标轴上单位长度的向量记为3个相互正交的单位向量i，j，k，空间中每一个点的位置都可以被这3个向量线性表出，如P<1，-2，3>这个点可以表为i-2j+3k.

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　　我们把这3个正交的单位向量称为空间坐标系的基，它们单位长度为1且正交，所以可以成为标准正交基。三个向量叫做基向量。现在我们用矩阵形式写出基向量和基。

i =  | 1 0 0 |
j =  | 0 1 0 |
k =  | 0 0 1 |

    | i |    | 1 0 0 |
B = | j | =  | 0 1 0 |
    | k |    | 0 0 1 |

　　这样的矩阵我们叫它基矩阵。有了基矩阵，我们就可以把空间坐标系中的一个向量写成坐标乘上基矩阵的形式，比如上面的向量P可以写成：

　　P = C x B

　　=>

                          | 1 0 0 |
| 1 -2 3 | = | 1 -2 3 | x | 0 1 0 |
                          | 0 0 1 |

 

　　这样的话，空间坐标系下的同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。