算法学习笔记(7)------catalan数

今天看到阿里有道笔试题，涉及到catalan数（貌似是13年的），然后总结一下catalan数。

1. catalan数描述:设c(1)=1,catalan数满足递归式c(n)=c(1)c(n-1)+c(2)c(n-2)...c(n-1)c(1).通用公式为c(n)=C(n,2n)/(n+1)
   

2. 其实问题可以转述为：假设有n个数顺序入栈，则可能出栈的方式有多少种？比如有3个数1 2 3，出栈的方式为1 2 3、2 1 3、1 3 2、3 2 1、2 3 1共有5种。思考：入栈的操作有n步，出栈的操作也有n步，如果我们用1表示入栈，0表示出栈，这相当于对2n个数进行全排列，其限制条件为：从左到有扫描这2n个数，1的累积次数必须不得少于0的次数。

3. 证明如下：首先不考虑限制条件，就相当于对2n个数进行全排列，根据排列组合知识，很容易得到总共的排列方法有C(2n,n)的方式，接下来剔除符合限制条件的方式即可。我们可以这样考虑，假设在第2m+1位置上(含)，0的个数为m+1，1的个数为m，这从2m+2到2n的位置中总共有n-m-1个0，n-m个1，如果我们2m+2到2n的位置上所有的0，1进行反转，即0->1，1->0，则其后0的个数变为n-m，1的个数变为n-m-1，那么这个2n数中1的个数总共为n-1,0的个数为n+1。也就是说，对于总共2n个数，如果有n+1个0，n-1个1，则在某个奇数位置必存在0的累积个数大于1的累积个数。即n+1个0和n-1个1必对应一个不符合要求的数。 用上述方法建立由n-1个1和n+1个0组成的2n个数，与由n个1和n个0组成的2n个数进行一一对应。例如:10100101由4个1和4个0组成的8位二进制数，但在第5个位置0的累积个数为3,1的累积个数为0，则对应3个1和2个0组成的10100010，因此不符合要求的2n个数与n-1个1和n+1个0组成的2n个数一一对应，故结果为C(2n,n)-c(2n,n+1)

4. catalan数的应用挺广泛的，主要应用于以下几类问题:

   (1)括号化问题
   矩阵链乘： P=a1*a2*a3*……*an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案
   (2)出栈次序问题
   有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
   (3)将多边行划分为三角形问题
   在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
   (4)单调路径问题
   一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右，不能越过对角线
   

不过我们似乎没有用到catalan数的递归，比如如果需要我们输出出栈的顺序，则怎么设计?先mark一下，晚上我再纠结。。。