各种码

 

  码元:在数字通信中常常用时间间隔相同的符号来表示一个二进制数字,这样的时间间隔内的信号称为二进制码元。 而这个间隔被称为码元长度。

 

  码元传输速率,又称为码元速率或传码率。其定义为每秒钟传送码元的数目,单位为"波特",又可以称为波特率,常用符号"Baud"表示,简写为"B"。

 

  一个以m波特/秒传送信号的线路,其传送二进制数据的速率不一定是m比特/秒,因为每个信号可以运载几个比特,例如,若使用0、1、2、3、4、5、6、7共8个电平级,则每个信号值可代表3个比特,因而这种条件下比特率将是波特率的3倍。

 

  另一种说法是:在使用时间域(或简称为时域)的波形表示数字信号时,代表不同离散数值的基本波形就称为码元。

 

  :

 

  某系统每秒钟传送2400个码元,则该系统的传码率为2400波特或2400B。但要注意,码元传输速率仅仅表征单位时间内传送码元的数目,而没有限定这时的码元是何种进制,因统一系统的各点上可能采用不同的进制,故给出码元速率时必须说明码元的进制和该速率在系统中的位置。

 

  码元,承载信息量的基本信号单位。

 

  从文字编码意义上讲,码元指参与文字编码的键位符号代码;包括数字代码、字母代码、笔画代码、形符代码等,如手机键盘的阿拉伯数字和笔画,电脑键盘的拉丁字母。

 

  根据编码需要分为不同进制(或键位数),常用进制(或键位数)的码元有:8进制(也称8键制)数字码元键盘,10进制数字码元键盘,5进制笔画数字码元键盘,还有26进制字母码元键盘,26进制部件字母码元键盘,还有韩文的28进制字母码元键盘,俄文的33进制字母码元键盘,以及中国维文的30进制字母码元键盘等。中文字根(或部件)与作为编码性质的码元是有区别的,比如,笔画码采取一个数字码元对应一类笔画;部件码采取一个字母码元对应多个字根,如五笔字型编码码元就是一个字母码元对应多个字根;郑码存在一个字根对应两个字母码元;数字音笔码还存在一个汉语音节一一对应一组数字码元。

 

 

英文名称:
code word
定义:
一种按特定规则排列并具有唯一含义的码序列。

 

 

  码字中非“0”码元的个数称为码字的汉明重量(简称码重,记作W)。

 

  对二进制码来说,码重W就是码字中所含码元“1”的数目,例如码字“110000”,其码长n=6,码重W=2

 

 

  两个码组对应位上数字的不同位的个数称为码组的距离,简称码距,又称海明(Hamming)距离。

 

  码距是编码体制里的一个概念。

 

  两个代码之间不同位的个数称为这两个码字间的距离。

 

  对于一个编码体制,将其中所有的合法码字的最小距离值称为这个编码体制的码距。

 

  而校验码的目的就是为了扩大码距,通过校验规律来识别错误代码

 

  8421码 码距d=1无查错、纠错能力。 偶校验 1011001

 

  1011011 码距d=1

 

  d个单比特错就可以把一个码字转换成另一个码字,为了检查出d个错(单比特错),需要使用海明距离为d+1的编码;为了纠正d个错,需要使用海明距离为2d+1的编码。

 

  例如对于信息位长度为K,监督码长度为r,则要指示一位错的N(N=K+r)个可能位置,即纠正一位错,则必须满足如下关系:

 

  2^r-1≥N=K+r

 

  因此当信息位为5时,满足2^r-1≥K+r=5+r,则r=4。

海明码

 

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海明码发明者   
海明码发明者

海明码是一种可以纠正一位差错的编码。它是利用在信息位为k位,增加r位冗余位,构成一个n=k+r位的码字,然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。它必需满足以下关系式: r 2^r ≥ k r 1 或 2^r ≥ n 1海明码的编码效率为: R=k/(k+r) 式中 k为信息位位数 r为增加冗余位位数

 

目录

1.海明码的原理
2.海明码的生成与接收
3.海明码的计算
4.海明码校验程序设计原理分析参考
 

编辑本段1.海明码的原理

  在数据中间加入几个 校验码,码距均匀拉大,将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里,当某一位出错,会引起几个校验位的值发生变化。
 
  海明不等式:
 
  校验码个数为K,2的K次方个信息,1个信息用来指出“没有错误”,其余(2^K)-1个指出错误发生在那一位,但也可能是校验位错误,故有N<=(2^K)-1-K能被校验。
 
  海明码的编码规则:
 
  1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次方的位置上,
 
  2.海明码的每一位(Hi)是由多个/1个校验值进行校验的,被校验码的
 
  位置码是所有校验位的校验位位置码之和。
 
  一个例题:
 
  4个数据位d0,d1,d2,d3, 3个校验位r0,r1,r2,对应的位置为:
 
  d3 d2 d1 r2 d0 r1 r0 ======b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1
 
  校验位的取值,就是他所能校验的数据位的异或
 
  b1为b3,b5,b7的异或,b2为b3,b6,b7 b4为b5,b6,b7
 
  海明v传送到接受方后,将上三式的右边(b1,b2,b4)的逻辑表达式分别
 
  异或上左边的值就得到了校验方程,如果上题采用偶校验
 
  G1=b1 b3 b5 b7的异或
 
  G2=b2 b3 b6 b7的异或
 
  G3=b4 b5 b6 b7的异或
 
  若G1G2G3为001是第一位错
 
  若为011是第三位错
 

编辑本段2.海明码的生成与接收

   特注:以下的+均代表异或
 
  方法一:
 
  1)海明码的生成。
 
  例1.已知:信息码为:"0010"。海明码的监督关系式为:
 
  S2=a2+a4+a5+a6
 
  S1=a1+a3+a5+a6
 
  S0=a0+a3+a4+a6
 
  求:海明码码字。
 
  解:1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。
 
  2)冗余码与信息码合成的海明码是:"0010a2a1a0"。
 
  设S2=S1=S0=0,由监督关系式得:
 
  异或运算:
 
  a2=a4+a5+a6=1
 
  a1=a3+a5+a6=0
 
  a0=a3+a4+a6=1
 
  因此,海明码码字为:"0010101"
 
  对以上这道题目的第二问的疑问:
 
  冗余码与信息码合成的海明码是:"0010a2a1a0"。为什么a2a1a0直接加在信息码后面,而不是按照1,2,4,8位的顺序加在信息码后面【例如:001(a2)0(a1)(a0)=0011001】
 
  2)海明码的接收。
 
  例2.已知:海明码的监督关系式为:
 
  S2=a2+a4+a5+a6
 
  S1=a1+a3+a5+a6
 
  S0=a0+a3+a4+a6
 
  接收码字为:"0011101"(n=7)
 
  求:发送端的信息码。
 
  解:1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。
 
  2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表:
 
  S2S1S0
 
  000
 
  001
 
  010
 
  100
 
  011
 
  101
 
  110
 
  111
 
  错码位置
 
  无错
 
  a0
 
  a1
 
  a2
 
  a3
 
  a4
 
  a5
 
  a6
 
  3)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。
 
  4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字:"0 0 1 0 1 0 1"
 
  5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码:"0010"
 
  方法二:(不用查表,方便编程)
 
  1)海明码的生成(顺序生成法)。
 
  例3.已知:信息码为:" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=4代表冗余位数,即校验码位数)
 
  求:海明码码字。
 
  解:1)把冗余码A、B、C、…,顺序插入信息码中,得海明码
 
  码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 "
 
  码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
  其中A,B,C,D分别插于2的k次方位(k=0,1,2,3)。码位分别为1,2,4,8。
 
  2)冗余码A,B,C,D的线性码位是:(相当于监督关系式)
 
  监督关系式的推导:
 
  D C B A
 
  1 0 0 0 1
 
  2 0 0 1 0
 
  3 0 0 1 1
 
  4 0 1 0 0
 
  5 0 1 0 1
 
  6 0 1 1 0
 
  7 0 1 1 1
 
  8 1 0 0 0
 
  9 1 0 0 1
 
  10 1 0 1 0
 
  11 1 0 1 1
 
  12 1 1 0 0
 
  根据上面表格得到 A B C D
 
  需要说明的是公式中参与计算的是表格中出现"1"的那个位 右边是数据位的二进制数,公式中的"+"表示异或
 
  故此有如下表达式:
 
  A->1,3,5,7,9,11;(这里的1 3 5 7 9 11均为A那一列出现1的位)
 
  B->2,3,6,7,10,11;
 
  C->4,5,6,7,12;(注 5=4+1;6=4+2;7=4+2+1;12=8+4)
 
  D->8,9,10,11,12。
 
  3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0):
 
  A=∑(0,1,1,0,1,0)=1
 
  B=∑(0,1,0,0,1,0)=0
 
  C=∑(0,1,0,0,0) =1
 
  D=∑(0,1,1,0,0) =0
 
  4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
 
  2)海明码的接收。
 
  例4.已知:接收的码字为:"1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=4代表冗余位数,即校验码位数)
 
  求:发送端的信息码。
 
  解:1)设错误累加器(err)初值=0
 
  2)求出冗余码的偶校验和,并按码位累加到err中:
 
  A=∑(1,0,1,0,1,0)=1 err=err+2^0=1
 
  B=∑(0,0,0,0,1,0)=1 err=err+2^1=3
 
  C=∑(1,1,0,0,0) =0 err=err+0 =3
 
  D=∑(0,1,1,0,0) =0 err=err+0 =3
 
  由err≠0可知接收码字有错,
 
  3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值3。
 
  4)纠错--对码字的第3位值取反得正确码字:
 
  "1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
 
  5)把位于2的k次方位的冗余码删除得信息码:"1 1 0 0 1 1 0 0"
 

编辑本段3.海明码的计算

  海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
 
  码字(Code Word) 按如下方法构建:
 
  1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)
 
  2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
 
  3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性,其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。
 
  位置1:校验1位,跳过1位,校验1位,跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
 
  位置2:校验2位,跳过2位,校验2位,跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
 
  位置4:校验4位,跳过4位,校验4位,跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
 
  位置8:校验8位,跳过8位,校验8位,跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)
 
  …
 
  如果全部校验的位置中有奇数个1,把该奇偶校验位置为1;如果全部校验的位置中有偶数个1,把该奇偶校验位置为0.
 
  举例说明:
 
  一个字节的数据:10011010
 
  构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
 
  计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):
 
  位置1检查1,3,5,7,9,11:
 
  ? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置1设为0,即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
 
  位置2检查2,3,6,7,10,11:
 
  0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置2设为1,即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
 
  位置4检查4,5,6,7,12:
 
  0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置4设为1,即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0
 
  位置8检查8,9,10,11,12:
 
  0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置8设为0,即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
 
  因此码字为: 011100101010.
 
   查找并纠错一位错误
 
  上例中构建了一个码字 011100101010,假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位,可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来,对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置.
 

编辑本段4.海明码校验程序设计原理分析参考

  海明码校验是为了保证数据传输正确而提出的,本来就是一串要传送的数据,如:D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0,这里举的是八位数据,可以是n位数据。就这样传送数据,不知道接收到后是不是正确的。所以,要加入校验位数据才能检查是否出错。这里涉及到一个问题,要多少位校验数据才能查出错误呢?
 
  我们只要能检测出一位出错,则对于8位信息数据,校验位为4位。满足下列条件:2的k次方大于等于n+k+1,其中k为校验位位数,n为信息数据位位数。验证一下,2的4次方等于16,n+k+1等于8+4+1等于13。 8位信息数据与4位校验位总共有12位数据,怎么排列呢?我们先把校验位按P4,P3,P2,P1排列,用通式Pi表示校验位序列,i为校验位在校验序列中的位置。 传送的数据流用M12,M11,M10,M9,M8,M7,M6,M5,M4,M3,M2,M1表示,接下来的问题是如何用D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0与P4,P3,P2,P1来表M12,M11,M10,M9,M8,M7,M6,M5,M4,M3,M2,M1了。校验位在传送的数据流中位置为2的i-1次方,则P1在M1位,P2在M2位,P3在M4位,P4在M8位。其余的用信息数据从高到低插入。 传送的数据流为D7,D6,D5,D4,P4,D3,D2,D1,P3,D0,P2,P1。 接下来,我们要弄明白如何找出错误位的问题。引进4位校验和序列S4,S3,S2,S1。S4,S3,S2,S1等于0,0,0,0表示传送的数据流正确;如S4,S3,S2,S1等于0,0,1,0则表示传送的数据流中第2位出错;如S4,S3,S2,S1等于0,0,1,1则表示传送的数据流中第3位出错;依次类推。
 
  用M12,M11,M10,M9,M8,M7,M6,M5,M4,M3,M2,M1如何表示S4,S3,S2,S1呢,简单的方法就是S1=1时,S4,S3,S2从0,0,0到1,1,1的所有的Mx异或。即S1等于M1异或M3异或M5异或M7异或M9异或M11。也就是S1等于P1异或D0异或D1异或D3异或D4异或D6。S2=1时,S4,S3,S1从0,0,0到1,1,1的所有的Mx异或。即S2等于M2异或M3异或M6异或M7异或M10异或M11。S3=1时,S4,S2,S1从0,0,0到1,1,1的所有的Mx异或。即S3等于M4异或M5异或M6异或M7异或M12。S4=1时,S3,S2,S1从0,0,0到1,1,1的所有的Mx异或。即S4等于M8异或M9异或M10异或M11异或M12。这样,对于一串码流,知道几位校验位,可以很快确定哪一位出错。而在发送端,可以根据S4,S3,S2,S1的表达式求出P4,P3,P2,P1的表达式,只要把式子右边的P4或P3或P2或P1移到左边替换掉S4或S3或S2或S1就可以了。面举例说明:用^表示异或
 
  D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0=11010001
 
  S4=M8^M9^M10^M11^M12=D7^D6^D5^D4^P4; P4=D7^D6^D5^D4;
 
  S3=M4^M5^M6^M7^M12 =D7^D3^D2^D1^P3; P3=D7^D3^D2^D1;
 
  S2=M2^M3^M6^M7^M10^M11 =D6^D5^D3^D2^D0^P2; P2=D6^D5^D3^D2^D0;
 
  S1=M1^M3^M5^M7^M9^M11=D6^D4^D3^D1^D0^P1; P1=D6^D4^D3^D1^D0;
 
  所以,
 
  P4=D7^D6^D5^D4=1^1^0^1=1
 
  P3=D7^D3^D2^D1=1^0^0^0=1
 
  P2= D6^D5^D3^D2^D0=1^0^0^0^1=0 P1=D6^D4^D3^D1^D0=1^1^0^0^1=1
 
  故,传送码流为D7,D6,D5,D4,P4,D3,D2,D1,P3,D0,P2,P1等于
 
  110110001101
 
  若接收端收到110110001101,则
 
  S4=M8^M9^M10^M11^M12=1^1^0^1^1=0
 
  S3=M4^M5^M6^M7^M12=1^0^0^0^1=0
 
  S2=M2^M3^M6^M7^M10^M11=0^1^0^0^0^1=0
 
  S1=M1^M3^M5^M7^M9^M11=1^1^0^0^1^1=0
 
  故,接收码流正确。
 
  若M6出错,由0变为1。则
 
  S4=M8^M9^M10^M11^M12=1^1^0^1^1=0
 
  S3=M4^M5^M6^M7^M12=1^0^1^0^1=1
 
  S2=M2^M3^M6^M7^M10^M11=0^1^1^0^0^1=1 S1=M1^M3^M5^M7^M9^M11=1^1^0^0^1^1=0
 
  即S4S3S2S1=0110,此为十进制的6,说明第六位出错,也就是M6出错。完全符合。
 
   5.海明码的表格计算
 
  如果对于m位的数据,增加k位冗余位,则组成位n=m+k位的纠错码。对于2^m个有效码字中的每一个,都有n个无效但可以纠错的码字。这些可纠错的码字与有效码字的距离是1,含单个错误位。这样,对于一个有效的消息总共有n+1个可识别的码字。这n+1个码字相对于其他2^m-1个有效消息的距离都大于1。这意味着总共有2^m(n+1)个有效的或是可纠错的码字。显然这个数应小于等于码字的所有的可能的个数2^n。于是我们有
 
  2^m(n+1)<2^n
 
  因为n=m+k,我们得出
 
  m+k+1<2^k
 
  对于给定的数据位m,上式给出了k的下界,即要纠正单个错误,k必须取最小的值。海明建议了一种方案,可以达到这个下界,并能直接指出错在哪一位。首先把码字的位从1到n编号,,并把这个编号表示成二进制数,即2的幂之和。然后对2的每一个幂设置一个奇偶位。例如对于6号位,由于6=110(二进制),所以6号位参加第2位和第4位的奇偶校验,而不参加第1位奇偶校验。类似的9号位参加第1位和第8位的奇偶校验而不参加第2位和第4位的奇偶校验。海明把奇偶校验分配在1,2,4,8等位置上,其他位置放数据。下面根据海明编码的例图,举例说明编码的方法
 
   海明编码的例

海明编码的例

  例如传送的消息为:1001011
 
  我们把数据放在3,5,6,7,9,10,11等位置上,1,2,4,8则为校验位。
 
  

 

 
1
 
0 0 1
 
0 1 1
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 
  根据海明编码的例,3、5、7、9、11的二进制编码的第一位为1,所以3、5、7、9、11号位参加第一位校验位,若按偶校验计算,1号位应为1
 
  
1
 
1
 
0 0 1
 
0 1 1
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 
  类似的,3、6、7、10、11号位参加2号位校验,5、6、7号位参加4号位校验,9、10、11号位参加8号位校验,全部按偶校验计算,最终得到如下结果
 
  
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 
  如果这个码字传输中有错误,比如说6号位出错。就会变成
 
  √ �w �w √
 
  
1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 
  当接收端按照同样的规则计算奇偶位时,就会发现1号位和8号位的奇偶性正确而2号位和4号位的奇偶性不对,于是2+4=6,,立即可以判断错在6号位。
 
  上例中k=4,因而m<2^4-4-1=11,即数据位可以用到11位,共组成15位的码字,可检测出单个位置的错误。

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