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前言
最近要毕业了，有半年没做比赛了．
这次参加百度之星第二轮娱乐一下．
现在写一下 JZP Set 这道题的的解题报告．
正文
题意
题意是：给你n个数(1到n)，给你一个规则，问用这个规则可以得到多少个合法的集合．
具体规则是：一个合法集合里任意挑两个数，如果这两个数之和是偶数，这个偶数除以２得到的数也要在这个合法集合里．
比如： 3 和９ 在集合里，３＋９是偶数，所以 (３＋９)／２ ＝ ６ 也要在这个集合里．然后 {３，６，９}就是一个合法的集合．
起初我理解错题意了，以为是任意的两个数字之和除以２．比如 (3 + 6)/2 ＝ ４, 我以为4也要在集合里．
于是很快得到一个 (n+1)*n/2 的公式．
后来学弟告诉我正确的题意．
分析
这个题的样例有10^5个，每个样例最大是10^7．
错误题意
首先来看看我理解错误题意时，是怎么做的．
假设 F(n) 是 n 的答案的话， 则 F(n + 1) = F(n) + f(n+1).
f(n+1)里面肯定有 n+1, 我假设f(n+1) 这些集合的任一个集合 S 里的最小值是 a, 则 (a+n+1)/2 肯定在 S 里面，然后这样递归下去发现 a到n+1的所有数字都必须在 S 里面．
于是 f(n+1) 就是 n+ 1 了．
于是最终方程就是 F(n+1) = F(n) + n+ 1.
只可惜这是错误的题意的做法．
正确题意
学弟告诉我正确的题意，还是可以很快写出方程来
F(n+1) = F(n) + f(n + 1).
其中f(n+1) 是含有 n+ 1的合法的集合．
奇数偶数合法<
首先对于我上面找到的那些肯定是合法集合的一部分，只是我遗漏了一些合法集合．
遗漏的肯定是非连续的了．
然后很快可以想到 一个奇数和一个偶数构成的集合都是合法集合．
于是 f(n + 1) 就又加上含有一奇一偶的合法集合的数量了，只是提交后WA了．
等差为奇数的组合
然后学弟随手写了一个集合 {3, 6, 9 } 发现也是合法集合．
然后我无意见把１２添加进去后发现还是合法集合．
于是我们得出结论：等差为奇数的数列都是合法集合，对于连续的那个只不过是等差为１罢了．
于是我们假设 i/x 的个数为 num(i/x),
于是有
则最终答案是
C( num (n / 1) , 2) + C( num (n / 3) , 2) + C( num (n / 5) , 2) + ...
也就是等差位 x 的数列里，我们随便挑一段都是合法集合．
只是到这一步我们发现这样做还是超时．
递推的等差数列
由于F(n+1) 与 F(n) 有很大的关系，所以我们尝试找找递推行不行．
还是这个公式
F(n) = F(n-1) + f(n).
f(n) 代表含有 n 的合法集合．
然后这些集合需要全是等差数列．
于是写了这么一个公式
f(n－１) =
n/1 + n/3 + n/5 + ....
然后就没什么想法了．
今天看了这个解题报告才知道可以这样做．
发现我们如果写出 f(n－２) 那一项的公式
(n-1)/1 + (n-1)/3 + (n-1)/5 + ...
这两个公式大部分项是相等的，只有个别的几个不相等．
自己举了几个例子发现 n 整除 下面的项时，这个除式会多一个．
比如 n = 12 则 12/3 = 4, 11/3 = 3.
这样这个f（n）函数就可以转化为
f( n ) = f( n - 1) + Count( n －１ ).
其中 Count( n ) 代表 n 的奇数约数个数．
然后小舟学长的模板上刚好有求关于小于 n 的所有数的约数的个数．其中有 O( n*log(n) ) 的模板，也有 O( n ) 的模板，
由于 n*log(n) 的模板比较简单，也可以过这道题，于是我就是用 n*log(n) 的模板了．
代码
/************************************************************************* > File Name: 4.2.cpp > Author: tiankonguse > Mail: [email protected] > Created Time: Mon 26 May 2014 01:06:18 PM CST ***********************************************************************/ #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<string> #include<queue> #include<map> #include<cmath> #include<stack> #include<algorithm> #include<functional> #include<stdarg.h> using namespace std; #ifdef __int64 typedef __int64 LL; #else typedef long long LL; #endif const int N = 10000010; LL nod[N]; LL count[N]; LL ans[N]; void __sieve_nod() { memset(nod, 0,sizeof(nod)); for (int i = 1; i < N; i+=2) { for (int j = i; j < N; j += i) { ++nod[j]; } } } void init(){ ans[0] = 1; ans[1] = 2; LL count = 1; for(int i=2;i<N;i++){ count += nod[i-1]; ans[i] = ans[i-1] + count; } } int main() { __sieve_nod(); init(); int t,n; scanf("%d",&t); for(int i=1; i<=t; i++) { scanf("%d",&n); printf("Case #%d:\n%I64d\n",i,ans[n]); } return 0; }