学而-离散数学

 学而时习之，不亦乐乎。今天拿出离散数学看了半天，总算还算有所收获，不再是咆哮了，而是咆哮过后的冷静。

遂想归纳一下近来所学，以梳理畅达。针对一些容易搞错的性质和概念，我要好好钻研钻研，不能让马虎大意毁掉基础知识。

bibo: 最近学了一些什么呀？有没有将他们“融汇贯通”起来？

bibodeng: 最近在看一些定义，慢慢地有了一点眉目，画了几张图，稍微梳理了一下，比如梳理了一些概念：半群、独异点 、群。

bibo:哦，那你说说这些概念是怎么来的，之间又有怎样的关系。

bibodeng: 嗯，首先要有一个代数系统（一个集合及集合上的若干运算、这里指的是二元运算*），如果这个二元运算* 满足结合律 a*b*c = (a*b)*c =a*(b*c),那么这个代数系统就算半个群了，如果个半群里面有一个单位元（类似于乘法里面的1，1乘任何数都得该数），那么就成了独异点，如果这个系统里面每个元素都有逆元，那么它就成了一个代数系统。

bibo:说的还行，代数系统——》半群——》独异点——》群 。箭头是一些条件。但是我发现你老是把那个结合律误会成交换律，下次记住，交换律不一定是群所必有的，满足交换律的群另外有一个名字——交换群（abel群）。记住这点，下次你就不会搞错了。

bibodeng : 有道理，那么群到底有些什么性质，有什么用呢？

bibo:群，你可以理解成为“物以类聚，人以群分”的那个群，就是按照某种运算规律能够打成一片的集合，比如我们的整数加群。两两之间运算，结果总在这里面（封闭），而且和操作数的顺序无关（操作数地位平等），还有很奇特的现象——对称。每一个a ,总有一个a^-1相对应，当然这个对称自然是关于e对称，因为a*a^-1 = e。你不觉得整个宇宙有点像群吗？呵呵，群的性质有很多，你知道的有那些？

bibodeng:群的性质，我记得的是群里面的元素满足消去律，因为假设有a*b=a*c，想要证明b= c. 两边引入一个a^-1，就得到a^-1 * a*b = a^-1 *a*c ，得到e *b = e*c ，而e和任何元素做运算都得到该元素，所以就得到了b =c. 这个结果让我心服口服。还有一个性质 a^k = e,当且仅当k是|a|（a的阶）的倍数，|a^-1| = |a|,可是我却不知道怎么得来的。

bibo:你先告诉我什么事a的阶。

bibodeng:就是a要和自己经过多少次运算得到e，即满足a^|a| =e.

bibo:恩，那么想象一下如果k是|a|的倍数，那么是不是总是在绕着群兜，每兜|a|次回到原地，你都了M个|a|次，你是不是又回到了原点。

bibodeng:是的，我知道了：a^k = (a^|a|)^M,而等式右边可以变为 e^M = e. 再证明必要性，原来如此。

bibo:那么|a^-1| = |a|你会了吗？

bibodeng:我知道 a*a^-1 = e 的，设 r = |a|,因为 (a^-1) ^r = (a^r)＾－１＝ｅ，则知道a的逆的阶是r的因子，而a的阶 r 也是的|a^-1|的因子，故而|a|=|a-1|,这和我跑200米时，在椭圆跑道那边起跑是无关的，只要最后跑到终点（a的逆），那么长度是一样的。

bibo:的确是怎样子的。

goodong:诶，你们两个在干什么？说给我听听！

bibodeng :呵呵，没什么，肚子有点饿了，去吃夜宵 : )

2011-12-25