Fibonacii数列，兔子问题
Fibonacci
数列
v
Fibonacci
背景知识
斐波那契:
比萨德列奥纳多，又称斐波那契（
Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo
，
1175
年
-1250
年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
v
Fibonacci
引出
斐波那契
在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔总数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
类推表如下：
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经过月数
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0
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1
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2
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3
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4
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5
|
6
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7
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8
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9
|
10
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11
|
12
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幼仔对数
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1
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0
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1
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1
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2
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3
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5
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8
|
13
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21
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34
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55
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89
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成兔对数
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0
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1
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1
|
2
|
3
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5
|
8
|
13
|
21
|
34
|
55
|
89
|
144
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|
总体对数
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1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
8
|
13
|
21
|
34
|
55
|
89
|
144
|
233
|
从一年的总体对数中可以发现
,
从第二个月开始，其数量是前两个月的数量的和，所以得出递推公式为：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2) (1)
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Fibonacci
数列的性质
1．
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
2.
其任意一项平方数为其前项和后项的积加一或者减一
F(n)*F(n)=F(n-1)*F(n+1)+/-1
3.
任取相邻的四个斐波那契数，中间两数之积（内积）与两边两数之积（外积）相差
1
v
Fibonacci
数列的程序实现
1. 递归实现
static int Fib1(int n) { int []result = new int[]{ 0, 1 }; if(n<2) return result[n]; return Fib1(n-1)+Fib1(n-2); }
2． 非递归实现(迭代法)
static int Fib2(int n) { int[] result = new int[] { 0, 1 }; if (n < 2) return result[n]; int n1=0,n2=1,retTemp=0; for (int i = 2; i <=n; i++) { retTemp = n1 + n2; n1 = n2; n2 = retTemp; } return retTemp; }
2． 创新法(矩阵公式)
存在一个
Fibonacii
的矩阵恒等式，其形式如下所示：
对于
F(n)
来说，只需要求右边的矩阵的
n
次幂，然后
F(n-1)
即为所求结果的第一行第一列的值。
对于右边的矩阵的
n
次幂可以将
n
化为：
public static Matrix MatrixPower( int n)
{
Debug.Assert(n > 0);
Matrix matrix = new Matrix();
if (n == 1)
{
return matrix= new Matrix(1,1,1,0);
}
if(n%2==0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMuti(matrix, matrix);
}
if (n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n-1) / 2);
matrix = MatrixMuti(matrix, matrix);
matrix = MatrixMuti(matrix, new Matrix(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
利用
Fibonacci
矩阵恒等式方法就
Fibonacci
数列：
internal class MaxtrixBy
{
public struct Matrix
{
public int m00, m01, m10, m11;
public Matrix( int _m00, int _m01, int _m10, int _m11)
{
m00 = _m00;
m01 = _m01;
m10 = _m10;
m11 = _m11;
}
}
public static Matrix MatrixMuti(Matrix m1, Matrix m2)
{
return new Matrix(m1.m00 * m2.m00 + m1.m10 * m2.m01, m1.m00 * m2.m10 + m1.m10 * m2.m11,
m1.m10 * m2.m00 + m1.m11 * m2.m01, m1.m10 * m2.m00 + m1.m11 * m2.m11);
}
public static Matrix MatrixPower( int n)
{
Debug.Assert(n > 0);
Matrix matrix = new Matrix();
if (n == 1)
{
return matrix= new Matrix(1,1,1,0);
}
if(n%2==0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMuti(matrix, matrix);
}
if (n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n-1) / 2);
matrix = MatrixMuti(matrix, matrix);
matrix = MatrixMuti(matrix, new Matrix(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
public static int Fib3( int n)
{
int[] result = new int[] { 0, 1 };
if(n<2) return result[n];
// MaxtrixBy matrixby=new MaxtrixBy();
Matrix m = MaxtrixBy.MatrixPower(n - 1);
return m.m00;
}
}
3
．
运行效率分析
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递归表示
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迭代法
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矩阵恒等式
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时间复杂度
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O(2 exp n)
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O(n)
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O(logn)
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