C语言算法：完善当年自编的k阶斐波那契数列

以下为大二时候的日志回放：
“ 题目扩展到K阶，

k阶斐波那契数列， 1阶（即k=1）：1、1、1、1、1、1、1、……

a0=a[1-1]=1,a1=1,a2=1,a3=1,a4=1,a5=1,a6=1……

3阶（k=3）：0、0、1、1、2、4、7、、、、、

a0=0,a1=0,a2=a[3-1]=1,a3=0+0+1=1,a4=0+1+1=2,a5=1+2+4=7

4阶：0、0、0、1、1、2、4、8、15、27……

a0=0,a1=0,a2=0,a3=a[4-1]=1,a4=1,a5=2,a6=4……a[8]=1+2+4+8=15……

问题一般化，可以看出：

数列的前k-2项的值都为0；

第k-1项的值为1；

第k到2k-1项的值为2的n次方（也是前k项和，但同时与2的n次方值相同）；

第2k项以后的值是前k项和；

 

网上说用‘递归’的方法，而且只是对应2阶，没扩展到K阶，小弟还熟练‘递归’，还是继续使用顺序求法。

 

C算法：

Status Fibonacci(int k, int m, int &f)
/* 求k阶斐波那契数列的第m项的值f    */
{
 int a[100],i,y,z=0;     /*定义一个元素数目为100的数组。*/
 if(k<=1||m<0)return ERROR;    /*如果输入的参数不规范，返回错误警告*/
 else if(m<k-1)f=0;      /*恒等于数据段的处理*/
 else if(m==k-1)f=1;
 else if(m<=2*k-1)f=pow(2,m-k);    /*二次方段的处理*/
 else                  /*K阶段的处理，时间复杂度剧增*/
 {
 for(y=0;y<k;y++)      /*用for循环，给K个数组元素赋值*/
 a[y]=pow(2,y);
 for(i=2*k;i<=m;i++)
 {
 a[k]=0;              /*a[k]每次循环清零一次*/
 for(y=0;y<k;y++)      /*内嵌于for循环体里边的for循环体*/
 {
 a[k]=a[k]+a[y];        /*前k项连加*/
 } 
  a[z]=a[k];   /*每次移动地把值最小的元素的值铲除，改成最大值，不用逐一赋值，省下大批时间，再次加入“输出a[k]的值”可以实现前m-k项和输出*/
  z++;      /*z每次自加1，确保每次都用前k项的最大项覆盖最小项*/
  if (z==k)z=0;  /*当z==k时，z归零*/ 
 }
  f=a[k];      /*输出所求值：k阶斐波那契数列的第m项的值f */
 }
 return OK;
}

以下为优化后的算法，在Online Judge中有较快的处理时间。

Status Fibonacci(int k, int m, int &f)
/* 求k阶斐波那契数列的第m项的值f    */
{
 long a[300], i, y, z=0;                    /*定义一个元素数目为300的数组,在long的极限不到第300个数字。*/
 if(k <= 1||m < 0)return ERROR;    /*如果输入的参数不规范，返回错误警告*/
 else if(m < k-1)f=0;                       /*恒等于数据段的处理*/
 else if(m == k-1)f=1;
 else for(i=0; i<k; i++)a[i]=0;  a[k]=1;                            /*输入k个0和a[k]=1的初始数字*/
 for(y=k+1; y<=m; y++) a[y]=a[y-1]*2-a[y-k];          /*规律：第y数字等于第y-1的数字乘以2减去第y-k个数字*/
  f=a[y-1];                            /*输出所求值：k阶斐波那契数列的第m项的值f */
 }
 return OK;
}