[动态规划]HDU_1024_MaxSum Plus Plus

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

题目大意：略

状态为：dp(i,j)，表示包含a[j]的前j个数划分成i段时的最大值。

基本的状态转移方程为：dp(i,j) = max{dp(i,j-1)+a[j],max{dp(i-1,k)}+a[j]}, 1<=i<=m, i<=j<=n, i-1<=k<j

如何理解上述状态转移方程：dp(i,j-1)+a[j],表示第i段包含住a[j],(a[j]不是第j段的开头),max{dp(i-1,k)}+a[j],表示第i段以a[j]为开头。

上述方法的时间复杂度为 O(mn^2)，因为转移的复杂度达到了O(n)

这里要进行优化，借鉴网上的方法，再增设状态，f(i,j)表示由a[1]-a[j]分成i段获得的最大值，可以不包含a[j]

那么状态转移方程可以改为： dp(i,j) = max{dp(i,j-1),f(i-1,j-1)}+a[j], 其中max{dp(i-1,k)} 等价于f(i-1,j-1),那么状态的转移就优化到了O(1),然后可以得出f(i,j) = max{f(i,j-1),dp(i,j)}

如何理解：第一个方程很简单，就是一个等价的代换，第二个方程，f(i,j-1)表示f(i,j)表示由a[1]-a[j-1]分成i段获得的最大值，而dp(i,j)表示包含a[j]的前j个数划分成i段时的最大值,

而这正好是f(i,j)的所有可能取值情况中的最大值。

空间复杂度的优化，实际上可以观察到dp(i,j)要依靠的子问题只有dp(i,j-1)，那么可以把dp(i,j)降到一维，同样f(i,j)也只需要一维，不过实现的时候要注意，dp还不要紧，但是f要等到dp更新完再更新，并且在dp开始更新时，f[i-1]要赋值为负无穷，这样才能保证f[i-1]是正确的值(因为加入的a[i]可以是负数).

总结：边界的处理要仔细推敲。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1000010,inf=0x3fffffff;
int f[MAXN],dp[MAXN],a[MAXN];
int main()
{
    int m,n;
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        memset(f,0,sizeof(f));dp[0]=0;f[0]=-inf;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            f[i-1] = -inf;
            for(int j=i;j<=n;j++)
            {
                if(j==i)dp[j] = dp[j-1]+a[j];
                else
                {
                    dp[j] = dp[j-1]>f[j-1]?dp[j-1]:f[j-1];
                    dp[j] += a[j];
                }
            }
            for(int j=i;j<=n;j++)
            {
                f[j] = f[j-1]>dp[j]?f[j-1]:dp[j];
            }
            //for(int j=1;j<=n;j++)printf("%d ",dp[j]);cout<<endl;
            //for(int j=1;j<=n;j++)printf("%d ",f[j]);cout<<endl;
        }
        printf("%d\n",f[n]);
    }
    return 0;
}