回溯法之二---8皇后问题

八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上.
问题分析:
第一步 定义问题的解空间
这个问题解空间就是8个皇后在棋盘中的位置.
第二步 定义解空间的结构
可以使用8*8的数组，但由于任意两个皇后都不能在同行，我们可以用数组下标表示
行，数组的值来表示皇后放的列，故可以简化为一个以维数组x[9]。
第三步 以深度优先的方式搜索解空间，并在搜索过程使用剪枝函数来剪枝
根据条件:x[i] == x[k]判断处于同一列
         abs(k-i) == abs(x[k]-x[i]判断是否处于同一斜线
我们很容易写出剪枝函数：

bool canPlace(int k){
	for(int i = 1; i < k; i++){
        //判断处于同一列或同一斜线
	   if(x[i] == x[k] || abs(k-i) == abs(x[k]-x[i])) 		       return false;
	}
	return true;
}

然后我们按照回溯框架一，很容易写出8皇后的回溯代码：

void queen(int i){
	if(i > 8){
		print();
		return;
	}
	for(int j = 1; j <= 8; j++){
	  x[i] = j;//记录所放的列
	  if(canPlace(i)) queen(i+1);
	}
}

整个代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int x[9];
void print(){
	for(int i = 1; i <= 8; i++)
		   cout << x[i] << " ";
	cout << endl;
}

bool canPlace(int k){
	for(int i = 1; i < k; i++){
            //判断处于同一列或同一斜线
	   if(x[i] == x[k] || abs(k-i) == abs(x[k]-x[i])) 
		   return false;
	}
	return true;
}

void queen(int i){
	if(i > 8){
		print();
		return;
	}
	for(int j = 1; j <= 8; j++){
	  x[i] = j;
	  if(canPlace(i)) queen(i+1);
	}
}

int main(){
  queen(1);
  return 0;
}