n！(n的阶乘)

我们在这里介绍一些关于n！的性质。

在计数问题中，经常需要用到n！。有必要了解n！在mod p下的一些性质。下面我们假设p是素数，n！=ap^e(a无法被p整除)，并试图求解e和a mod p(把这个东西算出来可以很好的缩小组合数取模的数据)。e是n！中p因子的个数，因此可以使用下面的式子进行计算:

n/p+n/p²+n/p³+……

这个结论很显然，因为n/d和不超过n的能被d整除的个数相等。由于只需要对于p^t<=n的t进行计算，因此复杂度O(log_p n)。

接下来计算a mod p。首先计算n！=1*2*……*n的因数中不能被p整除的项的积。假设n=10，p=3则有

n!=1*2*4*5*7*8*10*(3*6*9)

1*2*4*5*7*8*10≡1*2*1*2*1*2*1(mod p)

从这个例子可以看出，不能被p整除的项的积等于(p-1)!^(n/p)*(n mod p)!事实上根据威尔逊定理(代码的后面有证明)，我们有(p-1)!≡-1(mod p)。因为除了1和p-1之外的项都可以和各自的逆元相乘得到1。

然后再处理一下可以被p整除的项就可以了(拿上面的例子来说就是3、6、9，都除以3之后还剩1、2)。具体的程序还是可以用递归来实现。

代码如下：

1 int fact[MAXN];//fact里面存的是已经处理完毕的阶乘的值
2 int mod_fact(int n,int p,int &e){
3     e=0;
4     if(n==0)return 1;
5     int res=mod(n/p,p,e);
6     e+=n/p;
7     if(n/p%2==1)return res*(p-fact[n%p])%p;//乘res递归处理是为了处理后面p的倍数
8     return res*fact[n%p]%p;
9 }

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以下是威尔逊定理的证明：

首先我们需要先了解一下缩系：

若整数A1,A2,...,Am模n分别对应0,1,2,...,n-1中所有m个与n互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系。

下面我们来证明下威尔逊定理：

威尔逊定理：当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p)

必要性：如果p不是素数，那么它的正因数一定在1，2，3……(p-1)之中，所以gcd(p, (p-1)!)>1所以p一定是素数。

充分性：

若p是素数,取集合 A={1,2,3,...p -1}; 则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得:( i j ) ≡ 1 ( mod p )那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况

x^2 ≡ 1 ( mod p )

解得: x ≡ 1 ( mod p ) 或 x ≡ p-1 (mod p)

其余两两配对;故而( p - 1 )! ≡ 1*( p -1 ) ≡ -1 ( mod p)