【初等数论】 03 - 同余和剩余系
1. 同余
公约数是我们要讨论的主要整数关系，对整数\(m\)而言，其它整数与它的关系以\(m\)为周期出现着重复，具体讲就是任何整数和带余除法中的余数是等价的。为此我们可以在整数中建立另一种等价关系，如果\(m\mid a-b\)，则称\(a,b\)在模\(m\)下同余，记做\(a\equiv b\pmod{m}\)。比较容易证明同余关系是一个等价关系，它将整数限定在一个有限的空间里，大大方便了讨论。同余理论由高斯提出，它是数论的基础语言。由于同余继承自整除的概念，它的性质一般还是用整除来证明，但作为一个强大的语言，它有着自己简洁清晰的特点。以下是一些同余的基础性质，请自行证明并牢记于心：
（1）若\(a\equiv b,c\equiv d\pmod{m}\)，则有\(a\pm c\equiv b\pm d\pmod{m}\)和\(ac\equiv bd\pmod{m}\)；
（2）若\(a\equiv b\pmod{m}\)，则\(da\equiv db\pmod{m}\)；
（3）\(da\equiv db\pmod{m}\)等价于\(a\equiv b\pmod{\dfrac{m}{(m,d)}}\)；
（4）若\(a\equiv b\pmod{m},m'\mid m\)，则\(a\equiv b\pmod{m'}\)；
（5）\(a\equiv b\pmod{m_k},(k=1,\cdots,n)\)等价于\(a\equiv b\pmod{[m_1,\cdots,m_n]}\)。
性质（1）比较平凡，（2）（3）是对操作数进行缩放时的性质，（3）中包含了两种极端情况\(d\mid m\)和\((d,m)=1\)的性质。（4）（5）是对模数进行缩放时的性质，性质（5）可以将问题互相转化，把大模数分解为几个小模数，或者反过来将多个等式合并为一个。性质（2）中没有除法，那是因为“倒数”还没有被定义。当\((a,m)=1\)时，使用线性组合的定义容易证明，一定存在\(d\)使得\(da\equiv 1\pmod{m}\)，\(a^{-1}=d\)称为\(a\)的逆。有了逆就可以两边同时“除以”一个数了，但需要注意逆仅对与模互素的数存在。
既然同余是个等价关系，那它的等价类就可以看做是一个整体，所有满足\(x\equiv r\pmod{m}\)的整数组成的集合称为一个剩余类，记作\(r\bmod{m}\)，模\(m\)的所有剩余类组成的集合记作\(Z_m=\{r\bmod{m}\mid 0\leqslant r\leqslant m-1\}\)。当\((r,m)=1\)时，\(r\bmod{m}\)又称为既约剩余类，显然它们共有\(\varphi(m)\)个。在一个只有加减乘除的同余式里，任何数都可以等价地看成它的同余类，故以上性质对同余类也是成立的。同余类中同样可以定义逆，容易证明逆存在则必是唯一的，且有\((a^{-1})^{-1}=a\)。
利用同余的性质解决以下问题：
• 求\(3^3\cdot 45\)的末两位数。
2. 剩余系
虽然剩余类和它的元素是等价的，但元素本身更容易被直接讨论。从每个剩余类中取一个元素组成的集合称为一个完全剩余系，相应地还有既约剩余系的概念。剩余系的元素可以根据需求来选取，而且它们有以下基本性质（证明不难，请自行脑补）：
（1）若\(\{a_k\}\)是一个完全剩余系，则对任何整数\(c\)，\(\{a_k+c\}\)仍然是一个完全剩余系；
（2）若\(\{a_k\}\)是一个完全（既约）剩余系，且\((d,m)=1\)，则\(\{da_k\}\)仍然是一个完全（既约）剩余系。
性质（2）告诉我们，如果\(\{r_1,r_2,\cdots,r_{\varphi(n)}\}\)是\(n\)的既约剩余系，且\((a,n)=1\)，则\(\{ar_1,ar_2,\cdots,ar_{\varphi(n)}\}\)也是既约剩余系。那它们的乘积应该是模\(n\)同余的，即式子（1），这样就得到了著名的欧拉定理（公式（2））。取\(n\)为素数\(p\)时，则又有了费马小定理（公式（3））。欧拉定理给出了一个求元素逆的方法，即\(a^{-1}=a^{\varphi(n)-1}\)。另外，欧拉定理还给出了既约剩余系的元素与“单位元”的关系，这里是我们首次讨论既约剩余系元素之间的关系，后面还会继续研究。
\[r_1\cdot r_2\cdot\cdots r_{\varphi(n)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot\cdots ar_{\varphi(n)}\pmod{n}\tag{1}\]
\[a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}\tag{2}\]
\[a^p\equiv a\pmod{p}\tag{3}\]
简单考虑一个的习题：
• 求\(m\)的 最小正既约剩余系的所有元素之和。
剩余系的提出，最终还是为了研究同余意义下的整数空间，在这里就是要弄清完全（既约）剩余系的结构。既然整数\(m\)可以进行素数分解，想必把模\(m\)的剩余系按其素数分解分割会是个不错的想法。具体来说，对于\(m\)的互质分解\(m=m_1m_2\cdots m_n\)，我们想看到的是\(m\)的剩余系和\(m_k\)的剩余系之间的关系。
先从简单的\(m=m_1m_2\)看起，参考进制数的方法并考察\(x=x_1+m_1x_2\)，容易证明当\(x_k\)遍历\(m_k\)的完全剩余系，则\(x\)遍历\(m\)的完全剩余系。使用归纳法可以将这个结论推广到\(m=m_1m_2\cdots m_n\)的情形，但由于其形式不对称，推广的结论并无太大理论价值。由于\((m_1,m_2)=1\)，可知将上式中的\(x_1\)换成\(m_2x_1\)结论任然成立。
另外，当\(x_k\)遍历\(m_k\)的既约剩余系时，首先由刚才的结论，\(x=m_2x_1+m_1x_2\)两两不同余，其次也容易证明它们与\(m\)互素。综合起来我们就有结论：当\(x_k\)遍历\(m_k\)的既约剩余系时，\(x=m_2x_1+m_1x_2\)正好遍历\(m\)的既约剩余系。使用对应的证明方法（两类剩余系方法不同），这个结论可以轻易地推广到\(m=m_1m_2\cdots m_n\)的情景，甚至为每一项再乘上任意与\(m_k\)互素的数，结论任然成立。即当\(m_k\)两两互素，且有\(M_k=\dfrac{m}{m_k},(a_k,m_k)=1\)，则当\(x_k\)遍历\(m_k\)的完全（既约）剩余系时，表达式（4）和（5）都正好遍历\(m\)的完全（既约）剩余系。
\[x=M_1x_1+M_2x_2+\cdots+M_nx_n\tag{4}\]
\[x=a_1M_1x_1+a_2M_2x_2+\cdots+a_nM_nx_n\tag{5}\]
表达式中的\(x_k\)就像\(x\)的坐标一样，剩余系被分解到了个互相独立的维度，各个维度可以被单独地研究。值得提醒的是，以上表达式的每一项其实刚好是\(m_k\)的剩余系，它们可以相加得到\(m\)的剩余系\(x=x_1+x_2+\cdots+x_n\)。有一个自然的问题是，有没有表示为乘法的表达式\(x=x_1x_2\cdots x_n\)，同样满足这样的要求呢？结合前面结论，容易构造出公式（6）中的分解（\(a_k,M_k\)的意义同上），它的每一项是\(m_k\)的剩余系，各项相乘后是\(m\)的剩余系。有趣的是，表达式中各项之和任然遍历完全剩余系，而这对既约剩余系是不成立的（见习题）。
\[x=(a_1M_1x_1+M_2+\cdots+M_n)(M_1+a_2M_2x_2+M_3+\cdots+M_n)\cdots(M_1+M2+\cdots+a_nM_nx_n)\tag{6}\]
尝试解决以下问题：
• 求\(13\)的一个完全剩余系\({r_k},(1\leqslant k\leqslant 13)\)，满足\(r_k\equiv k\pmod{3}\)和\(r_k\equiv 0\pmod{7}\)；
• 若\(\{a_k\}\)是\(m\)的既约剩余系，则对任何满足\((c,m)=1\)的整数，\(\{a_k+c\}\)都不可能是既约剩余系。
• 不可能有\(m_k\)的既约剩余系\(x_k\)，使得\(x=x_1+x_2+\cdots+x_n\)和\(x=x_1x_2\cdots x_n\)都是\(m\)的既约剩余系；
以上分解方法从另一方面给出了欧拉函数的性质：如果\((m_1,m_2)=1\)，则\(\varphi(m_1m_2)=\varphi(m_1)\varphi(m_2)\)。利用这个性质可以得到公式（7），另外，这个公式还可以这样解释：将\(1,2,\cdots,n\)按照与\(n\)的最大公约数\(d\)划分为不同的集合，容易知道每个集合有\(\varphi(\dfrac{n}{d})\)个元素，所以共有\(\sum\limits_{d\mid n}{\varphi(\dfrac{n}{d})}=\sum\limits_{d\mid n}{\varphi(d)}\)个元素，这样就得到公式（8）。换句话说，一个完全剩余系被划分成了若干个既约剩余系，不得不说是一个很新颖的划分方法。
\[\sum_{d\mid n}{\varphi(d)}=\sum_{e'_1=0}^{e_1}\cdots\sum_{e'_s=0}^{e_s}{\varphi(p_1^{e'_1}\cdots p_s^{e'_s})}=\sum_{e'_1=0}^{e_1}{\varphi(p_1^{e'_1})}\cdots\sum_{e'_s=0}^{e_s}{\varphi(p_s^{e'_s})}=p_1^{e_1}\cdots p_s^{e_s}=n\tag{7}\]
\[\sum\limits_{d\mid n}{\varphi(d)}=n\tag{8}\]
剩余系分解的一个典型应用就是解一次同余方程组，下篇我们会专门研究同余方程，这里只介绍这类方程组（式子（8）的左侧）。当\(m_k\)两两互素时，根据前面的分解定理可知，在模\(m=m_1m_2\cdots m_n\)下方程有且仅有一解\(x\equiv M_k^{-1}r_k\pmod{m_k}\)。该结论历史上称为孙子定理（又称中国剩余定理），因为《孙子算经》中“物不知数”的问题其实就是一次同余方程组。
\[\begin{cases}\:x\equiv r_1\pmod{m_1}\\\:x\equiv r_2\pmod{m_2}\\\:\cdots\:\cdots\\\:x\equiv r_n\pmod{m_n}\end{cases}\:\Leftrightarrow\: x=M_1M_1^{-1}r_1+\cdots+M_nM_n^{-1}r_n\pmod{m}\tag{8}\]
以上定理限定\(m_k\)两两互素，且\(x\)系数为\(1\)，对于不满足条件的方程组，可以通过前面的结论进行等价变换。请尝试以下习题（一般的一元一次方程可先参考下篇）：
• 求解“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
• 求的\(7\)一个完全剩余系，每个数模\(2,3,5\)的余数都是\(1\)；
• 解方程\(19x\equiv 556\pmod{1155}\)；
• 解方程组\(\begin{cases}\:x\equiv 3\:\:\pmod{8}\\\:x\equiv 11\pmod{20}\\\:x\equiv 1\:\:\pmod{15}\end{cases}\begin{cases}\:3x\equiv 1\pmod{10}\\\:4x\equiv 7\pmod{15}\end{cases}\begin{cases}\:x+2y\equiv 1\pmod{5}\\\:2x+y\equiv 1\pmod{5}\end{cases}\)。
虽然我们还没有完全弄清既约剩余系的结构，但还是可以再做一些有趣的讨论的。既约剩余系中的任何数都有逆，尝试将它们两两配对，所有这样的数的乘积为\(1\)，如果再将那些逆为自身的数单独研究，也许可以得到既约剩余系的整体性质。先从模\(p\)看起，对逆为自身的数有\((x-1)(x+1)\equiv 0\pmod{m}\)，从而，满足条件的只有两个数\(\pm 1\)。这样便有了著名的威尔逊（Wilson）定理（公式（9）），它给出了既约剩余系\(\{a_k\}\)积的整体性质。
\[\prod_{k=1}^{p-1}{a_k}\equiv (p-1)!\equiv -1\pmod{p}\tag{9}\]
以上讨论过程对奇素数的幂\(p^e\)仍然成立，对\(2^n\)独立讨论也可知模为\(1,2,4\)时结果为\(-1\)，其它模\(2^n\)的结果为\(1\)。对一般的模\(m=p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}\)，考虑公式（6）表示的既约剩余系的积\(\prod\)，因为除了\(2p^e\)外都有\(\prod\equiv 1\pmod{p_k^{e_k}}\)，故除了模为\(2p^e\)外都有\(\prod=1\pmod{m}\)。总结以上可以有威尔逊定理的扩展定理：模为\(m=1,2,4,p^e,2p^e\)（\(p\)为奇素数）的既约剩余系的乘积模\(m\)余为\(-1\)，其它形式模的既约剩余数之积模\(m\)余为\(1\)。这个既约剩余系的整体性质在一些问题中很有作用，尝试解决以下问题：
• 若\(a_1,\cdots,a_{p-1}\)和\(a'_1,\cdots,a'_{p-1}\)是奇素数\(p\)的两个完全剩余系，证明\(a_1a'_1,\cdots,a_{p-1}a'_{p-1}\)一定不是完全剩余系。再证明该结论对任意模\(m\)也成立；
• 求证\(1^2\cdot 3^2\cdot\cdots(p-2)^2\equiv 2^2\cdot 4^2\cdot\cdots(p-1)^2\equiv (\dfrac{p-1}{2}!)^2\equiv -1^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}\)。
以上证明中的配对思想非常重要，请考虑以下问题：
• 求证存在\(x^2\equiv -1\pmod{p}\)的充要条件是\(p=4k+1\)，并由此证明格式为\(4k+1\)，的素数有无穷多个。