HD1580(尼姆博弈入门)

启蒙博客:http://www.cnblogs.com/jiangjun/archive/2012/11/01/2749937.html

尼姆博奕(Nimm Game):有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的
物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

    这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形。

    计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看(1,2,3)的按位模2加的结果:

1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 (+)
———————
0 =二进制00 (注意不进位)

    对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。

    任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0。

如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a(+)b,即可,因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可。

    例1。(14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14,21,27)。

    例2。(55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品
就形成了奇异局势(55,81,102)。

    例3。(29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,4
5,48)。

由非奇异局势变成奇异局势:p[i] - {p[1] ^ p[2] … ^ p[i - 1] ^ p[i + 1] …} = p[i] - ( sum ^ p[i] )

如果p[i] - (sum ^ p[i] ) == 0说明该局势是奇异局势,因为sum =0了

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstring>
 4 #include <iostream>
 5 using namespace std;
 6 const int Max = 110;
 7 int p[Max];
 8 int main()
 9 {
10     int n,sum,ans;
11     while(scanf("%d", &n) != EOF && n)
12     {
13         ans = sum = 0;
14         for(int i = 1; i <= n; i++)
15         {
16             scanf("%d", &p[i]);
17             sum ^= p[i];
18         }
19         for(int i = 1; i <= n; i++)
20         {
21             if(p[i] > (p[i] ^ sum))
22                 ans++;
23         }
24         printf("%d\n", ans);
25     }
26     return 0;
27 }
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