最短路径之Dijkstra算法详细讲解

最短路径之Dijkstra算法详细讲解

 

　　1 最短路径算法

　　在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：

　　(1)确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

　　(2)确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

　　(3)确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

　　(4)全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

　　用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

　　本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。

　　2 Dijkstra算法

　　2.1 Dijkstra算法

　　Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

　　Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

　　2.2 Dijkstra算法思想

　　Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了)，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示)，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度sat答案 www.jszj123.com

　　2.3 Dijkstra算法具体步骤

　　(1)初始时，S只包含源点，即S=，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权(若v与u有边)或 )(若u不是v的出边邻接点)。

　　(2)从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

　　(3)以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u(u U)的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

　　(4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。

　　2.4 Dijkstra算法举例说明

　　如下图，设A为源点，求A到其他各顶点(B、C、D、E、F)的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。(注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等)

　　图一：Dijkstra无向图

　　算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册--日志相册”中，名为“Dijkstra算法过程”的图就是了】