POJ1905-Expanding Rods

 

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大致题意：

一根两端固定在两面墙上的杆 受热弯曲后变弯曲

求前后两个状态的杆的中点位置的距离

 

解题思路：

几何和二分的混合体

 

 

 

 

如图，蓝色为杆弯曲前，长度为L

红色为杆弯曲后，长度为s

h是所求

依题意知

S=(1+n*C)*L

 

又从图中得到三条关系式;

（1）       角度→弧度公式  θr = 1/2*s

（2）       三角函数公式  sinθ= 1/2*L/r

（3）       勾股定理  r^2 – ( r – h)^2 = (1/2*L)^2

 

把四条关系式化简可以得到

 

 

逆向思维解二元方程组：

要求（1）式的h，唯有先求r

但是由于（2）式是三角函数式，直接求r比较困难

 

因此要用顺向思维解方程组：

在h的值的范围内枚举h的值，计算出对应的r，判断这个r得到的(2)式的右边  与 左边的值S的大小关系  （ S= (1+n*C)*L ）

 

很显然的二分查找了。。。。。

那么问题只剩下 h 的范围是多少了

下界自然是0 (不弯曲)

关键确定上界

题中提及到

Input data guarantee that no rod expands by more than one half of its original length.

意即输入的数据要保证没有一条杆能够延伸超过其初始长度的一半

就是说 S max = 3/2 L

理论上把上式代入（1）(2)方程组就能求到h的最小上界，但是实际操作很困难

因此这里可以做一个范围扩展，把h的上界扩展到 1/2L  ，不难证明这个值必定大于h的最小上界，那么h的范围就为  0<=h<1/2L

这样每次利用下界low和上界high就能得到中间值mid，寻找最优的mid使得(2)式左右两边差值在精度范围之内，那么这个mid就是h

 

精度问题是必须注意的

由于数据都是double，当low无限接近high时， 若二分查找的条件为while(low<high)，会很容易陷入死循环，或者在得到要求的精度前就输出了不理想的“最优mid”

精度的处理方法参考我的程序

 

//Memory Time 
//244K   0MS 

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<iomanip>
using namespace std;

const double esp=1e-5;   //最低精度限制

int main(void)
{
	double L,n,c,s;   //L:杆长 ，n:温度改变度 ， c:热力系数  ，s:延展后的杆长（弧长）
	double h;    //延展后的杆中心 到 延展前杆中心的距离
	double r;   //s所在圆的半径

	while(cin>>L>>n>>c)
	{
		if(L<0 && n<0 && c<0)
			break;

		double low=0.0;    //下界
		double high=0.5*L; //  0 <= h < 1/2L   (1/2L并不是h的最小上界，这里做一个范围扩展是为了方便处理数据)

		double mid;
		s=(1+n*c)*L;
		while(high-low>esp)  //由于都是double，不能用low<high，否则会陷入死循环 
		{                    //必须限制low与high的精度差
			mid=(low+high)/2;
			r=(4*mid*mid+L*L)/(8*mid);

			if( 2*r*asin(L/(2*r)) < s )     //h偏小
				low=mid;
			else       //h偏大
				high=mid;
		}
		h=mid;

		cout<<fixed<<setprecision(3)<<h<<endl;
	}
	return 0;
}