给定一个字符串,找出该字符串的最长回文子串。回文字符串指的就是从左右两边看都一样的字符串,如aba,cddc都是回文字符串。字符串abbacdc存在的回文子串有abba和cdc,因此它的最长回文子串为abba。
初看这个问题可能想到这样的方法:对字符串S逆序得到新的字符串S',再求S和S'的最长公共子串,这样求出的就是最长回文子串。
如S="caba", S'="abac",则S和S'的最长公共子串为aba,这个是正确的。
但是如果S = “abacdfgdcaba”, S’ = “abacdgfdcaba”,则S和S'的最长公共子串为abacd,显然这不是回文字符串。因此这种方法是错误的。
要找出最长回文子串,首先要解决判断一个字符串是否是回文字符串的问题。最显而易见的方法是设定两个变量i和j,分别指向字符串首部和尾部,比较是否相等,然后i++,j--,直到i >= j为止。下面的代码是判断字符串str[i, j]是不是回文字符串,即字符串str从i到j的这一段子串是否是回文字符串,在后面会用到这个方法。
bool isPalindrome(string str, int start, int end) { while (start < end) { if (str[start] != str[end]) return false; ++start, --end; } return true; }
蛮力法通过对字符串所有子串进行判断,如果是回文字符串,则更新最长回文的长度。因为长度为N的字符串的子串一共可能有(1+N)*N/2个,每次判断子串需要O(N)的时间,所以一共需要O(N^3)时间来求取最长回文子串。
string longestPalindrome(string str) { int len = str.length(), max = 1; int start=0; /*遍历字符串所有的子串,若子串为回文字符串则更新最长回文的长度*/ for (int i=0; i<len; i++) { for (int j=i; j<len; j++) { if (isPalindrome(str, i, j)) { //如果str[i,j]是回文,则判断其长度是否大于最大值,大于则更新长度和位置 int pLen = j - i + 1; if (pLen > max) { start = i; //更新最长回文起始位置 max = pLen; //更新最长回文的长度 } } } } return str.substr(start, max); }
因为蛮力法判定回文的时候需要很多重复的计算,所以可以通过动态规划法来改进该算法。假定我们知道“bab”是回文,则“ababa”也一定是回文。
定义P[i, j] = true 如果子串S[i, j]是回文字符串。 则 P[i, j] <- (P[i+1, j-1] && S[i]==S[j])。
Base Case如下:
P[ i, i ] ← true P[ i, i+1 ] ← ( Si = Si+1 )据此动态规划方法的代码如下, 该方法的时间复杂度为O(N^2),空间复杂度为O(N^2)。
string longestPalindromeDP(string s) { int n = s.length(); int longestBegin = 0, maxLen = 1; bool table[1000][1000] = {false}; for (int i=0; i<n; i++) table[i][i] = true; for (int i=0; i<n-1; i++) { if (s[i] == s[i+1]) { table[i][i+1] = true; longestBegin = i; maxLen = 2; } } /*依次求table[i][i+2]...table[i][i+n-1]等*/ for (int len=3; len<=n; ++len) { for (int i=0; i<n-len+1; ++i) { int j = i + len - 1; if (s[i]==s[j] && table[i+1][j-1]) { table[i][j] = true; longestBegin = i; maxLen = len; } } } return s.substr(longestBegin, maxLen); }
还有一个更简单的方法可以使用O(N^2)时间、不需要额外的空间求最长回文子串。我们知道回文字符串是以字符串中心对称的,如abba以及aba等。一个更好的办法是从中间开始判断,因为回文字符串以字符串中心对称。一个长度为N的字符串可能的对称中心有2N-1个,至于这里为什么是2N-1而不是N个,是因为可能对称的点可能是两个字符之间,比如abba的对称点就是第一个字母b和第二个字母b的中间。因此可以依次对2N-1个中心点进行判断,求出最长的回文字符串即可。根据该思路可以写出下面的代码。
string expandAroundCenter(string s, int l, int r) { int n = s.length(); while (l>=0 && r<=n-1 && s[l]==s[r]) { l--, r++; } return s.substr(l+1, r-l-1); } string longestPalindrome3(string s) { int n = s.length(); if (n == 0) return ""; string longest = s.substr(0, 1); for (int i=0; i<n; i++) { string p1 = expandAroundCenter(s, i, i); //以位置i为中心的最长回文字符串 if (p1.length() > longest.length()) longest = p1; string p2 = expandAroundCenter(s, i, i+1); //以i和i+1之间的位置为中心的最长回文字符串 if (p2.length() > longest.length()) longest = p2; } return longest; }