数据结构应用案例——栈结构用于8皇后问题的回溯求解

【说明】本文来自由周世平老师主编的《C语言程序设计》教材。我作为参编人员执笔了第7、8章。“第8章 问题求解与算法”中“8.6.1 回溯法”以8皇后问题的求解为例，介绍了回溯法的解题过程。这个解决方案中用到了“栈”，引用至此，作为栈应用的例子。需要说明的是，教材面向程序设计初学者，并全文中并未提出过任何关于“栈”的描述。这样做，隐藏了术语，减少初学者的认知难度。对于数据结构的学习者而言，由于知识面的扩大，却用不着回避这样的术语了。于是，在阅读本文时，作为体会栈的应用，需要自行从中提取出应用栈式存储及处理的部分来。

【全文】
　　回溯法是一种通用的搜索算法，几乎可以用于求解任何可计算的问题。算法的执行过程就像是在迷宫中搜索一条通往出口的路线，总是沿着某一方向向前试探，若能走通，则继续向前进；如果走不通，则要做上标记，换一个方向再继续试探，直到得出问题的解，或者所有的可能都试探过为止。
　　下面，用经典的8皇后问题为例来讲解如何使用回溯的思想解决问题。

　　8皇后问题是：在8×8的棋盘上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意的两个皇后不能处在同一行，同一列，或同一斜线上。可以把八皇后问题拓展为n皇后问题，即在n×n的棋盘上摆放n个皇后，使其任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

　　首先需要对棋盘进行描述。直观地，棋盘可以用二维数组表示，有皇后的棋格对应数组元素值为1，无皇后的棋格对应数组元素值为0。但这种存储结构并不是最简单有效的选择。
　　图8.21中左边部分给棋盘的行、列编了号，提供的摆放方法，就是问题的一个解。右边的部分，将各行上皇后所在的列数记录下来，用这8个数字（4, 6, 8, 2, 7, 1, 3, 5），也构成了对问题解的一种描述。

图8.21 8皇后问题的一个解

　　由此可以看出，可以定义一个一维数组int x[N];，用x[i]的值表示第i行上皇后所在的列数，n皇后问题的解可以用（x[1], x[2], ….. x[n]）的形式描述。
　　解决了数据表示的问题，设计数据处理的方法。这里要用回溯的策略，设计计算机对n皇后问题的求解方法。以4皇后为例，如图8.22所示，在图8.22(a)中，第1行第1列上放置一个皇后，图8.22(b)中确定第2行的可能放法，在尝试第1列、第2列由于相互攻击而放弃之后，确定在第3列放置可以继续，在图8.22(c)中继续对第3行进行考察，发现将所有4列都尝试过了，也没有办法将皇后安排一个合适的位置，对第4行做任何的尝试都没有意义，这时产生回溯，结果是在图8.22(d)中将第2行的皇后安排到第4列，然后第3行的暂时可以放在第2列，在图8.22(e)中试着确定第4行的皇后，却发现无解再次回溯，只能够如图8.22(f)所示将第1行的皇后放到第2列，再经图8.22(g)、(f)之后找到4皇后问题的一个解，那就是图8.22(g)的（2, 4, 1, 3）。

图8.22 用回溯找出4皇后问题一个解的过程

　　在图8.23中，给出了求出4皇后问题所有解的完整过程的描述。图中（1 * * *)对应图8.22(a)中第1行皇后安排在第1列，其他行待定的状态，接下来的（1 3 * *）对应了图8.22(b)中第2行皇后安排在第3列的状态。可以判断出在这个状态下，继续尝试并不能够完成求解，于是发生回溯（其下方的B代表回溯），于是下一个尝试的状态将是（1 4 * *），……。将这样的过程继续下去，能够找出4皇后问题的所有解（2 4 1 3）和（3 1 4 2），如图8.23中两个加网格背景的结点。

图8.23　求出4皇后问题所有解的完整过程

　　搞清楚用回溯法求解的过程后，将关注如何基于（x[1], x[2], ….. x[n]）形式的解结构，写出让计算机完成求解过程的代码。4皇后问题尚且可以在纸上画出解，8皇后问题的可能解有8!=40320种，最终解有92种，必须要依靠计算机求解了。
　　什么样的解才是可行的？需要描述出任何两个皇后可以“互相攻击”这样的条件：
　　（1）有两个皇后处在同一行：解的结构（x[1], x[2], ….. x[n]）已经保证同一行不会出现两个皇后。
　　（2）有两个皇后处在同一列：表示为x[i]=x[k]，假如在图8.23中出现表示为（1 1 * *）、（4 2 3 2）之类的结点，则说明有两个皇后在同一列了。
　　（3）有两个皇后处在同一斜线：若两个皇后的摆放位置分别是第i行第x[i]列、第k行第x[k]列，若他们在棋盘上斜率为-1的斜线上，满足条件i-x[i]=k-x[k]，例如（1 4 3 *）、（4 1 2 *）；若他们在棋盘上斜率为1的斜线上，满足条件i+x[i]=k+x[k]。将这两个式子分别变换成i-k=x[i]-x[k]和i-k=x[k]-x[i]，例如（3 4 1 *）。综合两种情况，两个皇后位于同一斜线上表示为|i-k|=|x[i]-x[k]|。
　　在下面的程序实现中，place(x, k)函数用于判断在第k行第x[k]列放置皇后，是否会与前面摆放好的皇后产生相互攻击。只要有某行（第i行）的皇后与这个第k行的皇后处在同一列（x[i]=x[k]）或者处在同一斜线（|i-k|=|x[i]-x[k]|），则立即返回假(0)，表示不可能构成解。
　　再接下来，就是在实现问题求解的nQueens(x, n)函数中，从第1行开始，逐行逐列地考察皇后的摆放，当遇到某一行所有可能情况试过不必再深入到下一行考察时，及时回溯到上一行，接着考察。
　　程序实现中，将保存解的数组定义成了动态数组。多分配一个单元，因为数组的首元素x[0]一直空闲未用，有用的单元是x[1]到x[n]。
　　
【例8.12】 求解8皇后问题的程序

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <malloc.h>

void nQueens(int *x, int n);     /*求解n皇后问题*/
int place(int *x, int k);         /*判断是否可以在第k行第x[k]列摆放皇后*/
void printSolution(int *x, int n);  /*输出求解结果*/

int main()
{
    int n;
    int *x;                        /*存放求解结果的数组首地址*/
    scanf("%d", &n);
    x=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));  /*动态分配数组空间， x[0]空闲*/
    nQueens(x, n);
    return 0;
}

/*如果一个皇后能放在第k行第x[k]列，则返回真(1)，否则返回假(0)*/
int place(int *x, int k)
{
    int i;
    /*对前k-1行，逐行考察*/
    for(i=1; i<k; i++)
    {
        /*如果前k-1行中有某行的皇后与第k行的在同一列或同一斜线，返回0*/
        if((x[i]==x[k])||(fabs(x[i]-x[k])==fabs(i-k)))
            return 0;
    }
    /*能执行下一句，说明在第k行第x[k]列摆放皇后，不会互相攻击*/
    return 1;
}

/*求解在n×n的棋盘上，放置n个皇后，使其不能互相攻击*/
void nQueens(int *x, int n)
{
    int k;
    k = 1;    /*k是当前行*/
    x[k] = 0;  /*x[k]是当前列，进到循环中，立刻就会执行x[k]++，而选择了第1列*/
    while(k>0)/*当将所有可能的解尝试完后，k将变为0，结束求解过程*/
    {
        x[k]++;                      /*移到下一列*/
        while(x[k]<=n && !place(x, k))   /*逐列考察，找出能摆放皇后的列x[k]*/
            x[k]++;
        if(x[k]<=n)                   /*找到一个位置可以摆放皇后*/
        {
            if(k==n)                  /*是一个完整的解，输出解*/
                printSolution(x, n);
            else  /*没有完成最后一行的选择，是部分解，转向下一行*/
            {
                k++;    /*接着考察下一行*/
                x[k]=0;  /*到循环开始执行x[k]++后，下一行将从第1列开始考察*/
            }
        }
        else  /*对应x[k]>n的情形，这一行已经没有再试的必要，回溯到上一行*/
            k--;  /*上一行在原第x[k]列的下1列开始考察*/
    }
}

/*输出求解结果*/
void printSolution(int *x, int n)
{
    int i, j;
    for (i = 1; i <= n; i++)    /*输出第i行*/
    {
        for (j=1; j<=n; j++)
        {  
            if (j == x[i])    /*第x[i]列输出Q，其他列输出*号 */
                printf("Q");
            else
                printf("*");
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
}

【思考题】请从解题策略和程序中，找出何处使用了栈，是如何将栈应用于回溯过程的？