动态大系统方法导论（一）

席裕庚老师的经典课程，做点笔记，分享一下。

第一章序言

1.1大系统的基本概念

什么是“大系统”，并不在于系统的规模大小，根本在于问题求解是否应用了大系统理论的方法。

• 规模大（维数高）
• 关联复杂
• 不确定性
• 多目标性

1.2大系统理论方法的基本特征

• 集结（Aggregation）即模型简化，通俗说就是“挤出水份”。
  
• 分解协调（Decomposition-Coordination）即把大问题化为小问题，同时考虑底层分散小块系统的协调。
• 分散化（Decentralization）是分布式控制的基础。例如，在红绿灯交通网络中，每个路口的交警就是一个分布式的控制单元。
• 结构分析（Structural Analysis）针对的并非是数学模型，而是结构逻辑关系，例如因果性。

除此之外还有两类特征

• 启发式（Heuristics）
• 多目标决策最优化（Multi-Objective Decision Making Optimization）

第二章 动态大系统的建模与结构分析方法

2.1模型

2.1.1模型的一般概念及其分类

模型就是信息集合。

模型的要点：

• 目的性
• 精确性
• 简易性

其中精确性和简易性是一对矛盾，需要靠目的性来解决这个矛盾。

2.1.2模型的分类

• 物理模型：

1. 映像（Image）模型如比例缩小的形式。
2. 模拟（Analogy）模型 如用模拟电路模拟传递函数。

• 抽象模型：

1. 解析（Analytical）模型
2. 概念（Concept）模型如方框图。

2.1.3数学模型与结构模型

解析模型：

• 数学模型（定量）
• 结构模型（定性）

结构模型用于描述系统各单元之间的逻辑关系。

以房间的温度传递问题为例：

如图1所示有11个温度相互影响的房间。

图1 房间温度传递问题

考察房间1的温度状况，发现只受到1、2、4的影响，因此状态方程可以写作：

类似地，整个系统的状态方程可以写作：

即矩阵可以由大量零元素处分割开来，从而看出房间1、2、3；房间4、5；房间7、8、9、10、11可以分别分为3大块。分别记为

则状态方程可以改写为

可见第1大块的状态与第3大块的状态无关，这就是结构模型的简单应用。

2.2动态大系统的数学建模

例如十字路口的情况，最重要的是进行拓扑分析。

一般步骤：

1. 把系统分解为若干个基本单元组成
2. 对基本单元数学建模
3. 模型形式转换非常重要，决定能不能用
4. 对关联建模
5. 参数估计→机理建模
6. 模型检验+参数辨识

2.3天然气管道数学建模

天然气管道的基本结构如图2所示，包含管道、泵站、控制单元。

图2 天然气管道示意图

管道系统满足：

• 流量守恒

• 同一点上的压力相等

以管道为单元，分析如图3所示

图3 管道单元示意图

天然气的物理参数为分布式参数，分别为压力和流量：

连续性方程：

流量方程：（流量会引起势的变化）

大系统建模最关键的步骤是模型形式转换，即实现模型的可计算性。

以天然气管道建模为例，通过地点离散化和时间离散化实现。

1.地点离散化

图4 地点离散化示意图

将管道分割成N（偶数）段，用相隔两点的平均值代表中心点，则有

因此原先的偏微分方程可转化为常微分方程，不过依然不具有可计算性：

2.再进行时间离散化（数值积分）

隐式方法（其中比例常数可自由调节）：

结合以上常微分方程可得一个非线性代数方程：

给一个初始值，迭代求解至收敛即可：

其中迭代至l+1次时，已知

3.线性化后迭代

上式唯一未知的参数是

从k=0起，逐步计算，在每一步计算时，逐步迭代求解线性代数方程。至此实现了模型的可计算性。