〖数学算法〗大数模幂运算快速算法

有朋友问我的博文《素性测试》中的Miller-Rabin算法的大数模幂运算快速算法怎么理解，由于在《素性测试》中没有讲解算法原理，所以在此单独一个篇文章详细讲这个算法。这是一个在密码学中比较重要的算法，在我的《素性测试》一文则是用于实现费马小定理。

首先我们先把问题简化一下，看看如何快速求a^b.

先看看我们熟知的两个数学公式：

a^(2c) = (a^c)^2；

a^(2c+1) = a*((a^c)^2)；

我们就利用这两个数学公式来解决这个问题，比如a=3,b=13时，我们把b写成二进制的形式13(10)=1101(2),我们从低位到高位运算，每运算一位可以将b右移一位，上面的例子可以转化成3^13 = 3^1 * 3^4 * 3^8,结合上面的两个数学公式我们可以写出如下的代码：

代码清单：

public class MyPow {
	
	public static void main(String[] args){
		 
		int a = 3;
		int b = 13;
		int m = pow(a,b);
		System.out.println(m);
	}

	private static int pow(int a, int b) {
		int result = 1;
		while(b > 0){
			
			if((b & 1) == 1)//b的某位上为1时才累乘
				result *= a;
			
			a *= a;//数学公式所得
			b >>= 1;//右移1位
		}
		return result;
	}
}

如上面的叙述叙述中可以看出快速pow算法的时间复杂度取决于b的二进制位数，而传统的一位一位累乘的pow算法的时间复杂度取决于b的大小，例如上述例子中，两种算法的运算次数分别为4次，和13次。随着b的增大，效率上的差距是显然的。

下面进入我们的主题---大数模幂运算快速算法(a^b % m)

要计算这个，我们首先还要知道一个数学公式：

a^b % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m其中a%m有b个

下面我还用上面b=13的例子，利用这个公式来证明下

a^13 % m = ((a^8) % m) * ((a^4) % m) * ((a^1) % m)

证明：

由a^b % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m其中a%m有b个得

a^8 % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m其中a%m有8个

a^4 % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m其中a%m有4个

a^1 % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m 其中a%m有1个

所以((a^8) % m) * ((a^4) % m) * ((a^1) % m) =  (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m 其中a%m有13个 = a^13 % m ；

证毕。

由上面我们证明的公式和第一个pow的例子，容易写出代码如下：

代码清单：

int runFermatPow(int a, int b, int m){
		
		int result = 1;
		while (b > 0) {
			if ((b & 1) == 1)
				result = (result * a);

			a = (a * a) % m;
			b >>= 1;
		}
		return result % m;
}

解释：当b=1101（2）时，从第1位开始result累乘，a = （a*a）%m加上循环可以看成表达式（a%m)^2 % m....因为(a%m)^2 % m = a^2 % m ,所以我们可以把a^13%m看成((a^1) % m) ,((a^4) % m) ,((a^8) % m)的累乘，最后对m取模。

但累乘很容易造成溢出，所以我们可以把代码改成如下形式：

代码清单：

int runFermatPow(int a, int b, int m){
		
		int result = 1;
		while (b > 0) {
			if ((b & 1) == 1)
				result = (result * a) % m;

			a = (a * a) % m;
			b >>= 1;
		}
		return result;
}

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