CCF 201503-4 网络延时 (树的直径)

问题描述

  给定一个公司的网络,由n台交换机和m台终端电脑组成,交换机与交换机、交换机与电脑之间使用网络连接。交换机按层级设置,编号为1的交换机为根交换机,层级为1。其他的交换机都连接到一台比自己上一层的交换机上,其层级为对应交换机的层级加1。所有的终端电脑都直接连接到交换机上。
  当信息在电脑、交换机之间传递时,每一步只能通过自己传递到自己所连接的另一台电脑或交换机。请问,电脑与电脑之间传递消息、或者电脑与交换机之间传递消息、或者交换机与交换机之间传递消息最多需要多少步。

输入格式

  输入的第一行包含两个整数n, m,分别表示交换机的台数和终端电脑的台数。
  第二行包含n - 1个整数,分别表示第2、3、……、n台交换机所连接的比自己上一层的交换机的编号。第i台交换机所连接的上一层的交换机编号一定比自己的编号小。
  第三行包含m个整数,分别表示第1、2、……、m台终端电脑所连接的交换机的编号。

输出格式

  输出一个整数,表示消息传递最多需要的步数。

样例输入

4 2
1 1 3
2 1

样例输出

4

样例说明

  样例的网络连接模式如下,其中圆圈表示交换机,方框表示电脑:
CCF 201503-4 网络延时 (树的直径)_第1张图片
  其中电脑1与交换机4之间的消息传递花费的时间最长,为4个单位时间。

样例输入

4 4
1 2 2
3 4 4 4

样例输出

4

样例说明

  样例的网络连接模式如下:
CCF 201503-4 网络延时 (树的直径)_第2张图片
  其中电脑1与电脑4之间的消息传递花费的时间最长,为4个单位时间。

分析

其实题目就是要我们求树的直径。

做法:两次BFS求解,第一次任选一个点,求该点能到达的最远点u,第二次从u出发,求u能到达的最远点v,则u,v的距离是树的直径。

定理:假设路径s-t为树的直径,则从任意一点u出发找到的最远的点一定是s、t中的一点。

利用这个定理,我们先从任一点出发找到其中一个端点,然后再从这个最远点开始搜,就可以搜到另一个最长路的端点,即用两遍广搜就可以找出树的直径。

证明:

1.如果u是s-t路径上的一点。

假设找到的最远点为T则dis(u,T) >dis(u,s)且dis(u,T)>dis(u,t) ,则最长路不是s-t了,与假设矛盾。

2.如果u不是s-t路径上的点。

情况1:u走到最远点的路径与s-t路径交于X点,则最后肯定走到某个端点(s或t),这一点在上面已经证明。假设是t ,则路径总长度为dis(u,X)+dis(X,t);

情况2:u走到最远点的路径u-T与s-t无交点。假设u可到达s-t上的某个点X,则必然有dis(u,T) >dis(u,X)+dis(X,t)>dis(X,t),不然u-t将会是最长路。于是dis(s,X)+dis(X,u)+dis(u,T)>dis(s,X)+dis(u,T)>dis(s,X)+dis(X,t)=dis(s,t),这与最长路是s-t矛盾。

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