大学算法分析与设计复习总结
大学算法分析与设计复习总结
为了拿大学的那悲剧的学分，好好弄懂以下所有知识点吧。把老师的复习的提纲，特意汇总了所有考点，方便童鞋们复习。不喜勿喷！！！
这本书是《算法设计与分析》 王红梅 编著
一共有以下12章，我们学了1、3、4、5、6、7、8、9
分别是“绪论、蛮力法、分治法、减治法、动态规划法、贪心法、回溯法、分治限界法
第1章 绪论
考点：
1、 算法的5个重要特性。（P3）
答：输入、输出、有穷性、确定性、可行性
2、 描述算法的四种方法分别是什么，有什么优缺点。（P4）
答：
1. 自然语言 优点：容易理解；缺点：容易出现二义性，并且算法都很冗长。
2. 流程图 优点：直观易懂；缺点：严密性不如程序语言，灵活性不如自然语言。
3. 程序设计语言 优点：用程序语言描述的算法能由计算机直接执行；缺点：抽象性差，是算法设计者拘泥于描述算法的具体细节，忽略了“好”算法和正确逻辑的重要性，此外，还要求算法设计者掌握程序设计语言及其编程技巧。
伪代码 优点：表达能力强，抽象性强，容易理解
3、 了解非递归算法的时间复杂性分析。(P13)
要点：对非递归算法时间复杂性的分析，关键是建立一个代表算法运行时间的求和表达式，然后用渐进符号表示这个求和表达式。
非递归算法分析的一般步骤是：
（1） 决定用哪个（或哪些）参数作为算法问题规模的度量。
（2） 找出算法的基本语句。
（3） 检查基本语句的执行次数是否只依赖问题规模。
（4） 建立基本语句执行次数的求和表达式。
（5） 用渐进符号表示这个求和表达式。
[例1.4]：求数组最小值算法
int ArrayMin(int a[ ], int n)
{
min=a[0];
for (i=1; i<n; i++)
if (a[i]<min) min=a[i];
return min;
}
问题规模：n
基本语句： a[i]<min
T(n)= n-1=O(n)
4、 掌握扩展递归技术和通用分治递推式的使用。（P15）
扩展递归技术：
通用分支递归式：
5、 习题1-4，习题1-7
设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求给出伪代码描述，并用一组例子进行跟踪验证，写出验证过程。
（1）伪代码
1. 令最小距离min等于数组头两个元素R[0]和R[1]的差的绝对值；
2. 从i=0循环至i<n-1，对于每个R[i]
2.1 分别求其与j=i+1至j<n的数的差的绝对值；
2.2 如果此值小于最小距离，则令新的最小距离为此值；
3. 输出最小距离。
（2）用实例进行跟踪验证
R[6]={10,5,11,16,30,14},n=6;
Min=|10-5|=5;
i=0,j=1, |R[i]-R[j]|=|10-5|=5;
j=2,|R[i]-R[j]|=|10-11|=1<min;min=1;
j=3, |R[i]-R[j]|=|10-16|=6;
j=4, |R[i]-R[j]|=|10-30|=20;
j=5, |R[i]-R[j]|=|10-14|=4;
i=1,j=2, |R[i]-R[j]|=|5-11|=6;
j=3, |R[i]-R[j]|=|5-16|=11;
j=4, |R[i]-R[j]|=|5-30|=15;
j=5, |R[i]-R[j]|=|5-14|=9;
i=2,j=3, |R[i]-R[j]|=|11-16|=5;
j=4, |R[i]-R[j]|=|11-30|=19;
j=5, |R[i]-R[j]|=|11-14|=3;
i=3,j=4, |R[i]-R[j]|=|16-30|=14;
j=5, |R[i]-R[j]|=|16-14|=2;
i=4,j=5, |R[i]-R[j]|=|30-14|=16;
最后输出min=1
7、使用扩展递归技术求解下列递推关系式
（1）
（2）
第3章 蛮力法
1、 掌握蛮力法的设计思想：
蛮力法依赖的基本技术——扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素依次处理一次，从而找出问题的解;
关键——依次处理所有元素。
2、 蛮力法的代表算法及其时间复杂度：
顺序查找，O(n)
串匹配（BF O(n*m) ，KMPO(n+m) ， BMO(n*m)）
选择排序，O(n2)
冒泡排序，O(n2)
生成排列对象（排列问题），O(n!)
生成子集（组合问题），O(2n)
0/1背包 属于组合问题。
任务分配，哈密顿回路，TSP问题 属于排列问题。
最近对问题 O(n2)，凸包问题 O(n3)
3、 掌握BF和KMP算法的原理，能够画出比较过程。P71习题3的4。要求给出一串字符串，能够求出对应的next数组，并能使用KMP算法进行比较匹配。
4、 掌握选择排序和冒泡排序算法描述和时间复杂性，要求能够写出伪代码。（P56-58）
选择排序
算法描述：选择排序开始的时候，扫描整个序列，找到整个序列的最小记录和序列中的第一记录交换，从而将最小记录放到它在有序区的最终位置上，然后再从第二个记录开始扫描序列，找到n-1个序列中的最小记录，再和第二个记录交换位置。一般地，第i趟排序从第i个记录开始扫描序列，在n-i+1个记录中找到关键码最小的记录，并和第i个记录交换作为有序序列的第i个记录。
时间复杂性：O(n2)
伪代码：
冒泡排序
算法描述：冒泡排序开始的时候扫描整个序列，在扫描过程中两两比较相邻记录，如果反序则交换，最终，最大记录就能被“沉到”了序列的最后一个位置，第二趟扫描将第二大记录“沉到”了倒数第二个位置，重复上述操作，直到n-1趟扫描后，整个序列就排好序了。
冒泡排序，O(n2)
5、 算法设计题：习题3-3，3-6，3-8，3-11，3-13
3-3 对于KMP算法中求next数组问题，设计一个蛮力算法，并分析其时间性能。
voidGetNext(char T[ ], int next[ ])
{
next[1]=0;
next[2]=1;
j=T[0],k=0;
for(;j>2;j--){
for(n=j-2;n>=1;n--){//n为要比较的前缀的最后一个字符的下标
m=j-n;//m为要比较的后缀的第一个字符的下标
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(T[i]!=T[m+i-1])break;
}
if(i==n+1){next[j]=n+1;break;}
}
if(n==0)next[j]=1;
}
}
3-4 假设在文本“ababcabccabccacbab”中查找模式 “abccac”,求分别采用BF算法和KMP算法进行串匹配过程中的字符比较次数。
由此可知，用BF算法一共要进行3+1+4+1+1+6+1+1+1+6=25次比较方能匹配出
KMP算法：next[]={,0,1,1,1,1,2};
由此可知，用KMP算法一共要进行3+4+6+5=18次比较方能匹配出
参考代码如下：
排列最终存储在长度为n的阶乘，元素类型为指针的数组中，数组指向一个排列，具体的排列数据存储在数组中。
int fabs(int n)
{
int r=1;
for(inti=n;i>1;i--)
r=r*i;
return r;
}
//排列存储在数组中
void getArrangement(int**&s,int n)
{
int * p,*q;
int * *s1;
int i,j,k,l,m,o;
s=new int *[1];
s[0]=newint[1];
s[0][0]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
j=0;
o=0;
m=fabs(i-1);
s1=newint *[fabs(i)];
while(o<m)
{
q=p=s[o];
for(k=i-1;k>=0;k--)
{
s1[j]=newint[i];
for(l=0;l<i;l++)
{
if(l==k){s1[j][l]=i;}
else{
s1[j][l]=*p;
p++;}
}
j++;
p=q;
}
o++;
delete[] q;
}
delete[]s;
s=s1;
}
}
3-8对于一个平面上n个点的集合S，设计蛮力算法求集合S的凸包的一个极点。
点集合中最左边或者最右边的点一定是凸包的一个极点，则求凸包的极点的问题转化为求点的x坐标最大或最小的点
int getPole(int x[],int y[],int n)
{
int r=0;
for(inti=0;i<n;i++)
{
if(x[i]>x[r])r=i;
}
return r;
}
3-11 设计算法生成在n个元素中包含k个元素的所有组合对象。
两种思路：
1、 生成所有的组合，在组合中找元素个数为k个的组合。
伪代码：
1．初始化一个长度为n的比特串s=00…0并将对应的子集输出；
2．for(i=1; i<2n; i++) //注意不能书写成i<=2n
2.1 s++；
2.2 判断s中1的个数，若为k，则将s对应的子集输出；
2、 使用k层嵌套循环生成元素个数为k个的组合。
设k=3；n个元素存储在数组a[]中；
伪代码：
for (i=1; i<n-2; i++)
for(j=i+1; i<n-1; i++)
for(k=j+1; i<n; i++)
输出a[i]a[j]a[k]构成的组合。
3-13美国有个连锁店叫7-11这个连锁店以前是每天7点开门，晚上11点关门
不过现在是全天24小时营业。有一天，有个人来到这个连锁店，买了4件商品
营业员拿起计算器敲了一下，说：总共是$7.11顾客开玩笑说：所以你们商店就叫7-11？营业员没有理她，说：当然不是，我是把它们的价格相乘之后得到的。
顾客说：相乘？你应该把他相加才对。营业员说，我弄错了。接着又算了一遍，结果让两个人吃惊的是：计算结果也是$7.11请问，这4件商品的价格是多少？
参考代码：
#include<iostream.h>
#include <stdio.h>
int main()
{
long i,j,k,m;
for (i=1; i <=711/4 ; i++)
{
for (j=i; j <=711/3 ; j++)
{
for (k=j; k <=711/2 ; k++)
{
m=711-i-j-k;
if (i*j*k*m==711*1000000)
{
cout<<i<<endl<<j<<endl<<k<<endl<<m<<endl;
}
}
}
}
return 0;
}
输出结果为：价格分别是1.2 1.25 1.5 3.16
第4章 分治法
了解分治法的设计思想
设计思想：将要求解的原问题划分成k个较小规模的子问题，对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再将每个子问题划分为k个规模更小的子问题，如此分解下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止，再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。
步骤：（1）划分（2）求解子问题（3）合并
分治法的代表算法及时间复杂度：
归并排序，快速排序，最大子段和，最近对问题，凸包问题，这五种问题的分治算法的时间复杂度为O(nlog2n)
棋盘覆盖，循环赛日程安排为O(4k)
掌握归并排序和快速排序算法的算法伪代码。（P78-83）
归并排序：
算法中数组r中存储原始数据，r1在中间过程中存储排序后的数据，s指需排序数组的起始下标，t指需排序数组的结束下标。最终排序后的数据依然存储在r数组中。
快速排序：
掌握最大子段和问题的算法伪代码。（P83-85）
对于待排序列（5, 3, 1, 9, 8, 2, 4, 7）,画出快速排序的递归运行轨迹。
按升序排列
初始序列：5,3,1,9,8,2,4,7
第一次划分：4,3,1,2,5,8,9,7
第二次划分：2,3,1,4,5,8,9,7
第三次划分：1,2,3,4,5,8,9,7
第四次划分：1,2,3,4,5,7,8,9
排序完成，红色字体为每次划分的轴值
在有序序列9（r1,r2,```, rn）中，存在序号i ( 1<=i<=n),使得ri = i, 请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n).
参考代码：
#include<iostream.h>
int findr(ints[],int begin,int end)
{
if(begin==end){
if(s[begin]==begin) return begin;
else return 0;
}else
{
int m=(begin+end)/2;
if(s[m]>m) return findr(s,begin,m-1);
else if (s[m]==m)return m;
else return findr(s,m+1,end);
}
}
void main()
{
int s[]={0,1,1,2,4,6,8};
cout<<findr(s,1,6)<<endl;
}
第5章 减治法
了解减治法的设计思想
设计思想：原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中，所以，只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。
掌握使用减治法的代表问题及时间复杂度：
折半查找，二叉树查找，堆排序，选择问题，淘汰赛冠军问题，假币问题；
以上问题的时间复杂度，如果减治是每次减小为原来规模的1/2，则时间复杂度一般为O(log2n)
掌握折半查找的算法伪代码描述及具体例子的查找过程，会根据折半查找的过程创建判定树。（P98-100）
会根据已知数据序列创建一个二叉查找树。（P100）
掌握堆排序算法中的两种调整堆和新建堆的方法：筛选法和插入法（P101-105）
堆调整问题：将一个无序序列调整为堆
（1）筛选法调整堆
关键问题：完全二叉树中，根结点的左右子树均是堆，如何调整根结点，使整个完全二叉树成为一个堆？ 
（2）插入法调整堆
关键问题是：在堆中插入一个结点，如何调整被插入结点，使整个完全二叉树仍然是一个堆？
掌握选择问题的算法的伪代码（P105-106）
习题5-1，算法设计题
习题5-4，给出任意一组数据，能分别用筛选法和插入法写出创建堆的过程，并用两种方法进行堆排序。
对（47，5，26，28，10）进行筛选堆排序，使用大根堆，形成升序 ，列出每次筛选后的序列
形成大根堆的过程（先把数组直接表示成完全二叉树）：
47，5，26，28，10（叶子结点，不用筛选）
47，5，26，28，10 （叶子结点，不用筛选）
47，5，26，28，10 （叶子结点，不用筛选）
47，5，26，28，10
47，28，26，5，10 （5与两个孩子中的大者比较，5小，交换位置）
47，28，26，5，10 （47与两个孩子中的大者比较，47大，不用交换位置）
47,28, 26, 5 ,10 （大根堆）
10,28, 26, 5 , 47 （取出堆顶元素后的序列）
10,28, 26, 5 , 47 （筛选）
28, 10 , 26, 5 , 47
28, 10 , 26, 5 , 47 （大根堆）
5, 10 , 26, 28, 47 （取出堆顶元素后的序列）
5, 10 , 26, 28, 47 （筛选）
26, 10 , 5, 28, 47
26, 10 , 5, 28, 47 （大根堆）
5, 10 , 26, 28, 47 （取出堆顶元素后的序列）
5, 10 , 26, 28, 47 （筛选）
10, 5 , 26, 28, 47
10, 5 , 26, 28, 47 （大根堆）
5, 10 , 26, 28, 47 （取出堆顶元素后只剩一个值，结束算法）
对（47，5，26，28，10）进行插入法生成大根堆
47
47 5
47 5 26
47 28 26 5
47 28 26 5 10
第6章 动态规划法
了解动态规划法的设计思想
设计思想：将待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，将子问题的解求解一次并填入表中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解。
步骤：
将原始问题分解为相互重叠的子问题，确定动态规划函数；
求解子问题，填表；
根据表，自底向上计算出原问题的解。
掌握可以用动态规划法解决的问题及时间复杂度：
TSP，多段图的最短路径问题，0/1背包，最长公共子序列问题，最优二叉查找树，近似串匹配问题；
多段图的最短路径问题： O(n+m)
0/1背包问题： O(n×C)
掌握多段图的最短路径问题的动态规划算法及具体实现（P121-123），习题6-2
动态规划函数为：
cost[i]中存储顶点i到终点的最短路径长度
cost[i]=min{C[i][j]+cost[j]} (i≤j≤n且顶点j是顶点i的邻接点)
path[i]=使C[i][j]+cost[j]最小的j
先构造cost数组和path数组
掌握0/1背包问题的动态规划算法及具体实现（P123-126），习题6-3
例题：用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解：有5个物品，其重量分别为（3，2，1，4，5），物品的价值分别为（25，20，15，40， 50），背包容量为6。写出求解过程。
0/1背包问题的动态规划函数为：
V(i,j)表示把前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值和。
填表过程：
放入背包中的物品的求解过程：则65表示把5个物品放入容量为6的背包中的最大价值和。
i=5,j=6; v[5][6]>v[4][6],x[5]=1, j=6-w[5]=1
i=4,j=1; v[4][1]=v[3][1], x[4]=0
i=3,j=1; v[3][1]>v[2][1], x[3]=1, j=1-w[3]=0
i=2,j=0; v[2][1]=v[1][0], x[2]=0
i=1,j=0; v[1][0]=v[0][0], x[1]=0
结果是把第3个和第5个放入了背包
掌握最长公共子序列问题的动态规划法算法及具体实现（P126-128），习题6-4
求X=“xzyzzyx”和Y=“zxyyzxz”序列的最长公共子序列的动态规划函数为：
L[i][j]表示X中前i个元素和Y中前j个元素构成的序列的最长公共子序列的长度。
为了确定具体的最长公共子序列，需要同时计算S[i][j]的值，S[i][j]表示在计算L[i][j]的过程中的搜索状态。
子序列为斜箭头所标示的行或列：X[2],X[3],X[6] ,X[7]或Y[1], Y[3], Y[4] , Y[6]最长公共子序列的长度为4
即为：zyyx
第7章 贪心法
了解贪心法的设计思想
贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据当前已有的信息就做出局部最优选择，而且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。
贪心法的关键在于决定贪心策略。
掌握可以用贪心法解决的问题：
TSP问题中的两种解决方法：最近领点策略，最短链接策略
最小生成树问题的两种算法：最近顶点策略（Prim算法），最短边策略（Kruskal算法）
背包问题，活动安排问题，多机调度问题，哈夫曼编码。
掌握最小生成树的两种贪心算法：prim算法和kruskal算法（P145-148），给出具体的例子，能够用两种方法画出树的生成过程。
掌握背包问题的贪心算法（P148-151），给出一个具体的例子，能够写出解决问题的过程。习题7-2
问题：求如下背包问题的最优解：有7个物品，价值P=(10,5,15,7,6,18,3),重量w=(2,3,5,7,1,4,1),背包容量W=15.
解决方法：
先对物品的单位重量价值按照降序排列
| 物品重量 |
物品价值 |
物品价值/物品重量 |
| 1 |
6 |
6 |
| 2 |
10 |
5 |
| 4 |
18 |
4.5 |
| 5 |
15 |
3 |
| 1 |
3 |
3 |
| 3 |
5 |
1.67 |
| 7 |
7 |
1 |
依次把物品放入容量为15的背包，直到背包被装满
1+2+4+5+1=13，前5个物品装入背包，还剩下容量为2，第6个物品只能装入2/3
所以总价值为：6+10+18+15+3+5*2/3=55.3333
给出字符集和对应的频率，能够画出对应的哈夫曼树，并对给定的字符串进行哈夫曼编码。（P155-157）
第8章 回溯法
了解回溯法的设计思想
设计思想：从解空间树根结点出发，按照深度优先策略遍历解空间树，在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优）解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即所谓剪枝（Pruning）；否则，进入以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。直到搜索到叶子结点，则得到问题的一个可能解。
步骤：
确定解向量和分量的取值范围，构造解空间树；
确定剪枝函数；
对解空间树按深度优先搜索，搜索过程中剪枝；
从所有的可能解中确定最优解。
了解可以用回溯法解决的问题：
属于组合问题和排列问题中求最优解的问题都可以用回溯法解决，例如：图着色问题，哈密顿回路问题，八皇后问题（4皇后问题），批处理作业调度问题。
掌握m颜色图着色判定问题的回溯法算法，并能画出解空间树的搜索过程（P168-170），习题8-4
对图8.14使用回溯法求解图问题，画出生成的搜索空间。
解：图着色问题求解的是满足图着色要求的最小颜色数。对图8.14应该从1、2、3、4……种颜色依次尝试用回溯法判定是否满足M着色的要求。
经搜索，1种和2种颜色均不能满足图着色的要求，3种颜色可以满足图着色要求，搜索过程如下，所以图8.14的着色的最少颜色数应该为3
搜索空间为：
掌握n皇后问题的回溯法算法，并能画出解空间树的搜索过程（P173-174）,
自己看书
掌握0/1背包问题的回溯算法，并能画出解空间树的搜索过程（P163-164），习题8-5
自己看书
习题8-6，算法设计题。
给定一个正整数集合X={x1,x2,…, xn}和一个正整数y，设计回溯算法，求集合X的一个子集Y，使得Y中元素之和等于y。
解：
用回溯法求解问题分析：
该问题为求子集问题。
解分量的和小于y为剪枝函数。
当搜索到结点，并且解分量的和等于y时，找到问题的解。
1．X={x1,x2,x3……xn }，sum=0，Y={ }为解向量，初始化为全0;
2．flag=false;
3．k=1;
4．while (k>=1)
4.1 当(Sk取1、0)循环执行下列操作
4.1.1yk=Sk中的下一个元素;
4.1.2将yk加入Y;
4.1.3sum=+（yk?xk:0）;
4.1.4if (sum==y) flag=true; 转步骤5;
4.1.4else if (sum<y) k=k+1; 转步骤4;
4.2 重置Sk，使得下一个元素排在第1位;
4.3 k=k-1; //回溯
5．if flag 输出解Y;
else 输出“无解”;
参考代码：
#include <iostream.h>
const int N=5;
int f(int x[],int y[],int n)
{
//初始化y，y为所求的集合
for(inti=0;i<N;i++)
y[i]=2;
int k=0;
int sum=0;
while(k>=0)
{
y[k]=y[k]-1;
if((y[k]==1||y[k]==0)&&k<N){
sum=sum+(y[k]?x[k]:0);
if(sum==n){break;}//找到解
else{
if(sum<n){k++;}//搜索下一个
else{
sum=sum-(y[k]?x[k]:0);
}
}
}
else{//回溯
// sum=sum-(y[k]?x[k]:0);
y[k]=2;
k--;
sum=sum-(y[k]?x[k]:0);
}
}
return k;
}
void main()
{
int x[N]={2,1,3,4,2};
int y[N]; //解向量
int n=12; //题目要求等于的和
int k=f(x,y,n);//k表示搜索到第几个元素
cout<<k<<endl;
for(int i=0;i<N;i++)
cout<<(y[i]==1?x[i]:0)<<endl;
}
第9章 分治限界法
了解分支限界法的设计思想
设计思想：
1）首先确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确定目标函数的界[down, up] ，并确定限界函数；
2）然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的限界函数的可能取值；
3）如果某孩子结点的限界函数可能取得的值超出目标函数的界，则将其丢弃；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表PT）中；
4）依次从表PT中选取使限界函数的值是极值的结点成为当前扩展结点；
5）重复上述过程，直到找到搜索到叶子结点，如果叶子结点的限界函数的值是极值，则就是问题的最优解，否则，找到其他极值结点重复扩展搜索。
步骤：
确定解空间树
确定限界函数
按广度优先搜索解空间树，计算限界函数的值，填入PT表
从PT表中寻找极值，继续扩展结点，直到找到限界函数值为极值的叶子结点。
了解可以使用分支限界法解决的问题：
TSP问题，多段图的最短路径问题，任务分配问题，批处理作业调度问题，0/1背包问题。
掌握任务分配问题的分支限界法（P195-197），习题9-5
掌握0/1背包问题的分支限界法（P184-185），习题9-6
掌握批处理作业问题的分支限界法（P198-200），习题9-7