通向实在之路：宇宙法则的完全指南 笔记

通向实在之路：宇宙法则的完全指南

科学的根源

古代定理和现代问题

1. 双曲几何

物理世界里数的种类

奇幻的复数

1. 如何看待形式幂级数\sigma(1-x^2)^-1 = -1/3？

对数、幂和根的几何

1. 复对数
2. 复数幂
   1. 通过规定log i = πi/2，可得到i^i = e^(-π/2)
3. 乘积性量子数
   1. n=2 宇称，‘玻色子’
   2. n=3 夸克性

实数微积分

1. C^∞光滑
2. f(x)可延拓为f(z)并在一阶可微的意义下光滑
   1. ‘解析’：可展开为幂级数
   2. 解析函数，or C^ω光滑
      1. 不可能将不同的解析函数‘粘合’

复数微积分

1. 路径积分：‘连续形变’指的是同调，而非同伦
2. 解析延拓
   1. 黎曼猜想

黎曼曲面和复映射

1. 定义域为‘多层区域’？
2. 共性映射（各向同性？）
3. 紧黎曼曲面的亏格
4. 黎曼映射定理
   1. 理想气流：无粘滞、不可压缩、非转动
   2. 著名的翼型变换理论，w=(z+1/z)/2，将过z=-1的圆的外部变换到翼型截面，使得通过机翼的气流模型可计算

傅里叶分解和超函数

1. 超函数：一侧全纯函数到另一侧的跳跃？
   1. 不依赖于边界线的选择：切除定理
   2. C^-∞函数：分布函数？

曲面

1. 1形式：dΦ=udx+vdy
2. 柯西-黎曼方程

超复数

1. 四元数
   1. 八元数：不遵循乘法结合律
   2. 可除代数
   3. 放弃可除性：Clifford代数
      1. 实数域上的2^n维代数？
      2. 应用：‘旋量’
      3. 需要知道什么是‘垂直’才可以从反射中建立通常的转动概念
   4. Grassman代数：Clifford代数的退化情形
      1. 类似于Clifford代数γ的反交换生成元η，其η^2=0
      2. 关注的是不同维下的‘平面元素’
      3. a∧b

n维流形

1. 余矢量？
2. Grassman积
3. 形式的积分，∫f(x)dx，外演算
4. 外导数？
5. 张量
6. *复流形

对称群

1. 行列式（det A）和迹（trace A）
2. 本征值和本征向量
   1. det(A-λI)=0
3. I+εA, I+εB
4. 群的换位子：aba^-1b^-1
   1. => I - ε^2(AB-BA)
   2. 定义[A,B]=AB-BA，则李代数可用+ - []来构建
5. 表示理论
6. *张量表示空间：可约性
   1. 紧半单群：所有表示都完全可约化
7. 正交群
8. 酉群
9. 辛群
   1. ‘典型群’
   2. 符号差？

流形上的微积分

1. ？曲率和挠率
2. 测地线
3. 李导数？
4. 度规
5. 辛流形：反对称、非奇异、dS=0

纤维丛和规范联络

1. 联络（协变导数）
2. “内部维”
3. 丛：底空间 + 纤维
   1. 最简单：积空间
   2. 扭曲丛
4. 丛的截面
5. Clifford丛：几何纤维化了的S^3
6. *复矢量丛，（余）切丛
7. 射影空间
8. 丛联络的非平凡性
9. 丛曲率 ？

无限的阶梯

时空

Minkowski几何

麦克斯韦和爱因斯坦的经典场

1. 时空2形式F（麦克斯韦张量）&时空矢量J（电荷-电流矢量）
   1. F和J的霍奇对偶
2. SR后Weyl的一般化设想（长度概念与路径无关？）
3. 爱因斯坦方程
   1. 宇宙学常数

拉格朗日量和哈密顿量

1. 平稳作用原理：作用量极小化方向？
2. 小振动
   1. 简正模？
3. 辛几何的哈密顿动力学

量子粒子

1. 微分算符：把d/dx=D，(1+D^2)y=f(x)，y=(1-D^2+D^4-...)f(x)
   1. xD、Dx不对易：Dx-xD=1
2. 薛定谔方程
3. ‘量子跳变’

量子代数、几何和自旋

这一章有点复杂。

纠缠的量子世界

1. EPR效应
2. Bell不等式
3. 玻色子和费米子
4. 量子隐形传态
5. 量子信息（量子传输）？

狄拉克电子和粒子

1. 为什么反粒子意味着量子场？
2. 。。。
3. 电子的狄拉克方程

粒子物理学的标准模型

1. 电子的zigzag图像
2. 电弱相互作用：反射不对称性
3. 正反共轭、宇称和时间反演（CPT）
4. 电弱对称群
5. 强相互作用粒子
   1. QCD

QFT

。。。

大爆炸及其热力学

1. 熵
2. 热力学第二定律
3. 黑洞
4. 宇宙学
   1. 标准模型（FLRW）

早期宇宙的推测性理论

测量疑难

1. 量子理论的非传统本体论？
   1. “哥本哈根”
   2. 多世界
   3. 环境退相关
   4. 相容历史
   5. 领波 ？
   6. 带有客观性R的新理论
2. 密度矩阵D

量子态收缩中的引力角色

超对称、超维和弦

1. 强子弦论
2. 从26维减到10维的超弦
   1. 使得弦论成为一种主要的量子引力理论，而不再是强相互作用理论
   2. p638 ... 站在量子场论一边的人倾向于采取重正化——或更确切地说，‘有限性’

      而持相对论立场的我们则认为，量子力学原理与广义相对论原理之间的深刻的概念冲突才是急需解决的首要问题

   3. 6维的微绕框架？
3. 神奇的卡拉比-丘空间：M理论
   1. Kahler流形
   2. 5种明显各异的总体框架 => 5种不同的弦论
   3. p651 有理曲线是一种亏格=0的复曲线
   4. 膜：p个空间维+一个时间维
4. 全息原理
   1. 源于AdS/CFT猜想
5. D膜观点

圈变量

扭量（Twistor）理论

难以理解。

实在之路通向何方

尾声