重拾算法之路——二分搜索

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隶属于——递归与分治

描述： 给定 已排好序 的n个元素a[0;n-1]，现在要在这n个元素中找出一特定元素x。

朴素法： 当然这是好听的说法，明白点叫最笨的方法，就是顺序搜索，逐个比较0到n-1中元素，直至找出元素x或搜索遍所有元素，确定x不在元素中，这个方法也很好的利用n个元素排好序的条件，因此最坏的情况，时间复杂度为O（n）次比较。

二分搜索： 这种方法充分利用元素间的次序关系，采用分治策略，可在最坏情况下用O（log(n)）时间完成搜索任务。基本思想就是将 n个元素 分成个数一样的两半，取a[n/2]与x作比较，

如果x=a[n/2]，则找到x，算法终止。

如果x<a[n/2]，则只在数组a的左半部分（0到n/2）中继续搜索

如果x>a[n/2]，则只在数组a的右半部分（n/2到n-1）中继续搜索

代码程序：

template< class Type >

int BinarySearch( Type a[], const T& x, int n)
{
    int l=0,r=n-1;
    while( l <= r )
    {
        int m = (l+r)/2;
        if( x == a[m] )    return m;
        if( x < a[m] )    r = m-1;
        else    l = m+1;
    }
    return -1;    // 找不到x，则返回-1
}

分析： 从上面代码可以看出，每执行一次算法的while循环，待搜索数组的大小减少一半。

因此，在最坏的情况下，while数组执行了O（log(n)）次；而循环体内的代码执行时间约为O（1）。

最终，整个算法在最坏情况下的时间复杂度为 O（log(n)）。

小知识： 二分搜索算法的思想易于理解，但是要写一个正确的二分搜索算法也不是一件简单的事情。Knuth在他的著作《The Art of Computer Programming:Sorting and Searching》中提到：第一个二分搜索算法早在1946年就出现了，但是第一个完全正确的二分搜索算法却直到1962年才出现。

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