算法导论-14.3-6-MIN-GAP

一、题目

请说明如何维护一个支持操作MIN-GAP的动态数据集Q，使得该操作能够给出Q中两个数之间的最小差幅。例如，Q={1，5，9，15，18，22}，则MIN-GAP(Q)返回18-15=3,因为15和18是其中最近的两个数。使用操作INSERT，DELETE，SEARCH和MIN-GAP尽可能高效，并分析它们的运行时间。

二、思考

步骤1：基础数据结构

红黑树，数组中的数值分别作为每个结点的关键字

步骤2：附加信息

min-gap[x]：记录以x为根结点的树的min-gap。当x为叶子结点时，min-gap[x]=0x7fffffff

min-val[x]：记录以x为根结点的树中最小的关键字

max-val[x]：记录以x为根结点的树中最大的关键字

步骤3：对信息的维护

在插入的删除的同时，对这三个附加信息进行更新操作，时间复杂度不改变

步骤4：设计新的操作

Min_Gap()：返回根结点的min-gap值

 

三、代码

#include <iostream>
using namespace std;

#define BLACK 0
#define RED 1

//MIN-GAP树结点结构
struct node
{
	node *left;//左孩子
	node *right;//右孩子
	node *p;//父
	int key;//关键字
	bool color;//颜色，红或黑
	int min_gap;//记录以x为根结点的树的min-gap。当x为叶子结点时，min-gap[x]=0x7fffffff
	int min_val;//记录以x为根结点的树中最小的关键字
	int max_val;//记录以x为根结点的树中最大的关键字
	node(node *init, int k)
		:left(init),right(init),p(init),key(k),color(BLACK),min_gap(0x7fffffff),min_val(k),max_val(k){}
};
//区间树结构
struct Min_Gap_Tree
{
	node *root;//根结点
	node *nil;//哨兵
	Min_Gap_Tree(){nil = new node(NULL, -1);root = nil;};
};
int Min(int a, int b, int c, int d)
{
	a = a < b ? a : b;
	c = c < d ? c : d;
	return a < c ? a : c;
}
//对信息的维护
void Maintaining(Min_Gap_Tree *T, node *x)
{
	while(x != T->nil)
	{
		//对min_val信息的维护
		x->min_val = (x->left != T->nil) ? x->left->min_val : x->key;
		//对max_val信息的维护
		x->max_val = (x->right != T->nil) ? x->right->max_val : x->key;
		//对min_gap信息的维护
		int a = (x->left != T->nil) ? x->left->min_gap : 0x7fffffff;
		int b = (x->right != T->nil) ? x->right->min_gap : 0x7fffffff;
		int c = (x->left != T->nil) ? (x->key - x->left->max_val) : 0x7fffffff;
		int d = (x->right != T->nil) ? (x->right->min_val - x->key) : 0x7fffffff;
		x->min_gap = Min(a, b, c, d);
		//向上更新
		x = x->p;
	}
}
//左旋，令y = x->right, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转
//涉及到的结点包括：x,y,y->left，令node={p,l,r},具体变化如下：
//x={x->p,x->left,y}变为{y,x->left,y->left}
//y={x,y->left,y->right}变为{x->p,x,y->right}
//y->left={y,y->left->left,y->left->right}变为{x,y->left->left,y->left->right}
void Left_Rotate(Min_Gap_Tree *T, node *x)
{
	//令y = x->right
	node *y = x->right;
	//按照上面的方式修改三个结点的指针，注意修改指针的顺序
	x->right = y->left;
	if(y->left != T->nil)
		y->left->p = x;
	y->p = x->p;
	if(x->p == T->nil)//特殊情况：x是根结点
		T->root = y;
	else if(x == x->p->left)
		x->p->left = y;
	else 
		x->p->right = y;
	y->left = x;
	x->p = y;
	Maintaining(T, x);
}
//右旋，令y = x->left, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转
//旋转过程与上文类似
void Right_Rotate(Min_Gap_Tree *T, node *x)
{
	node *y = x->left;
	x->left = y->right;
	if(y->right != T->nil)
		y->right->p = x;
	y->p = x->p;
	if(x->p == T->nil)
		T->root = y;
	else if(x == x->p->right)
		x->p->right = y;
	else 
		x->p->left = y;
	y->right = x;
	x->p = y;
	Maintaining(T, x);
}
//红黑树调整
void MG_Insert_Fixup(Min_Gap_Tree *T, node *z)
{
	node *y;
	//唯一需要调整的情况，就是违反性质2的时候，如果不违反性质2，调整结束
	while(z->p->color == RED)
	{
		//p[z]是左孩子时，有三种情况
		if(z->p == z->p->p->left)
		{
			//令y是z的叔结点
			y = z->p->p->right;
			//第一种情况，z的叔叔y是红色的
			if(y->color == RED)
			{
				//将p[z]和y都着为黑色以解决z和p[z]都是红色的问题
				z->p->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				//将p[p[z]]着为红色以保持性质5
				z->p->p->color = RED;
				//把p[p[z]]当作新增的结点z来重复while循环
				z = z->p->p;
			}
			else
			{
				//第二种情况：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子
				if(z == z->p->right)
				{
					//对p[z]左旋，转为第三种情况
					z = z->p;
					Left_Rotate(T, z);
				}
				//第三种情况：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子
				//交换p[z]和p[p[z]]的颜色，并右旋
				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				Right_Rotate(T, z->p->p);
			}
		}
		//p[z]是右孩子时，有三种情况，与上面类似
		else if(z->p == z->p->p->right)
		{
			y = z->p->p->left;
			if(y->color == RED)
			{
				z->p->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				z = z->p->p;
			}
			else
			{
				if(z == z->p->left)
				{
					z = z->p;
					Right_Rotate(T, z);
				}
				z->p->color = BLACK;
				z->p->p->color = RED;
				Left_Rotate(T, z->p->p);
			}
		}
	}
	//根结点置为黑色
	T->root->color = BLACK;
}
//插入一个结点
void Min_Gap_Insert(Min_Gap_Tree *T, node *z)
{
	node *y = T->nil, *x = T->root;
	//找到应该插入的位置，与二叉查找树的插入相同
	while(x != T->nil)
	{
		y = x;
		if(z->key < x->key)
			x = x->left;
		else
			x = x->right;
	}
	z->p = y;
	if(y == T->nil)
		T->root = z;
	else if(z->key < y->key)
		y->left = z;
	else
		y->right = z;
	z->left = T->nil;
	z->right = T->nil;
	//将新插入的结点转为红色
	z->color = RED;
	//从新插入的结点开始，向上调整
	MG_Insert_Fixup(T, z);
	//对信息的维护
	Maintaining(T, z);
}
//对树进行调整，x指向一个红黑结点，调整的过程是将额外的黑色沿树上移
void MG_Delete_Fixup(Min_Gap_Tree *T, node *x)
{
	node *w;
	//如果这个额外的黑色在一个根结点或一个红结点上，结点会吸收额外的黑色，成为一个黑色的结点
	while(x != T->root && x->color == BLACK)
	{
		//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）
		if(x == x->p->left)
		{
			//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理
			//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的
			w = x->p->right;
			//第一种情况：w是红色的
			if(w->color == RED)
			{
				//改变w和p[x]的颜色
				w->color = BLACK;
				x->p->color = RED;
				//对p[x]进行一次左旋
				Left_Rotate(T, x->p);
				//令w为x的新兄弟
				w = x->p->right;
				//转为2.3.4三种情况之一
			}
			//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色
			if(w->left->color == BLACK && w->right->color == BLACK)
			{
				//去掉w和x的黑色
				//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色
				w->color = RED;
				//在p[x]上补一层黑色
				x = x->p;
				//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理
			}
			//第三种情况，w是黑色的,w->left是红色的,w->right是黑色的
			else
			{
				if(w->right->color == BLACK)
				{
					//改变w和left[x]的颜色
					w->left->color = BLACK;
					w->color = RED;
					//对w进行一次右旋
					Right_Rotate(T, w);
					//令w为x的新兄弟
					w = x->p->right;
					//此时转变为第四种情况
				}
				//第四种情况：w是黑色的,w->left是黑色的,w->right是红色的
				//修改w和p[x]的颜色
				w->color =x->p->color;
				x->p->color = BLACK;
				w->right->color = BLACK;
				//对p[x]进行一次左旋
				Left_Rotate(T, x->p);
				//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环
				x = T->root;
			}
		}
		//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）
		else if(x == x->p->right)
		{
			//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理
			//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的
			w = x->p->left;
			//第一种情况：w是红色的
			if(w->color == RED)
			{
				//改变w和p[x]的颜色
				w->color = BLACK;
				x->p->color = RED;
				//对p[x]进行一次左旋
				Right_Rotate(T, x->p);
				//令w为x的新兄弟
				w = x->p->left;
				//转为2.3.4三种情况之一
			}
			//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色
			if(w->right->color == BLACK && w->left->color == BLACK)
			{
				//去掉w和x的黑色
				//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色
				w->color = RED;
				//在p[x]上补一层黑色
				x = x->p;
				//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理
			}
			//第三种情况，w是黑色的,w->right是红色的,w->left是黑色的
			else
			{
				if(w->left->color == BLACK)
				{
					//改变w和right[x]的颜色
					w->right->color = BLACK;
					w->color = RED;
					//对w进行一次右旋
					Left_Rotate(T, w);
					//令w为x的新兄弟
					w = x->p->left;
					//此时转变为第四种情况
				}
				//第四种情况：w是黑色的,w->right是黑色的,w->left是红色的
				//修改w和p[x]的颜色
				w->color =x->p->color;
				x->p->color = BLACK;
				w->left->color = BLACK;
				//对p[x]进行一次左旋
				Right_Rotate(T, x->p);
				//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环
				x = T->root;
			}
		}
	}
	//吸收了额外的黑色
	x->color = BLACK;
}
//找最小值   
node *Tree_Minimum(Min_Gap_Tree *T, node *x)  
{  
    //只要有比当前结点小的结点   
	while(x->left != T->nil)  
        x = x->left;  
    return x;  
} 
//查找中序遍历下x结点的后继，后继是大于key[x]的最小的结点   
node *Tree_Successor(Min_Gap_Tree *T, node *x)  
{  
    //如果有右孩子   
	if(x->right != T->nil)  
        //右子树中的最小值   
        return Tree_Minimum(T, x->right);  
    //如果x的右子树为空且x有后继y，那么y是x的最低祖先结点，且y的左儿子也是   
    node *y = x->p;  
    while(y != NULL && x == y->right)  
    {  
        x = y;  
        y = y->p;  
    }  
    return y;  
}   
//红黑树的删除
node *Min_Gap_Delete(Min_Gap_Tree *T, node *z)
{
	//找到结点的位置并删除，这一部分与二叉查找树的删除相同
	node *x, *y;
	if(z->left == T->nil || z->right == T->nil)
		y = z;
	else y = Tree_Successor(T, z);
	if(y->left != T->nil)
		x = y->left;
	else x = y->right;
	x->p = y->p;
	if(y->p == T->nil)
		T->root = x;
	else if(y == y->p->left)
		y->p->left = x;
	else
		y->p->right = x;
	//对信息的维护
	Maintaining(T, x);
	if(y != z)
	{
		z->key = y->key;
		//对信息的维护
		Maintaining(T, z);
	}
	//如果被删除的结点是黑色的，则需要调整
	if(y->color == BLACK)
		MG_Delete_Fixup(T, x);
	return y;
}
//递归地查询二叉查找树     
node *Min_Gap_Search(node *x, int k)    
{    
    //找到叶子结点了还没找到，或当前结点是所查找的结点     
    if(x->key == -1 || k == x->key)    
        return x;    
    //所查找的结点位于当前结点的左子树     
    if(k < x->key)    
        return Min_Gap_Search(x->left, k);    
    //所查找的结点位于当前结点的左子树     
    else    
        return Min_Gap_Search(x->right, k);    
}   
void Print(node *x)
{
	if(x->key == -1)
		return;
	Print(x->left);
	cout<<x->key<<' '<<x->color<<endl;
	Print(x->right);
}
int Min_Gap(node *r)
{
	return r->min_gap;
}
void Print(Min_Gap_Tree *T)
{
	Print(T->root);
	cout<<endl;
}
int main()
{
	//生成一棵MIN-GAP树
	Min_Gap_Tree *T = new Min_Gap_Tree;
	int x;
	char ch;
	while(1)
	{
		cout<<"请输入一个操作："<<endl;
		cout<<"I：插入一个随机数到集合中"<<endl;
		cout<<"D x：从集合中删除一个值为x的数"<<endl;
		cin>>ch;
		switch (ch)
		{
			//插入一个关键字
		case 'I':
			{
			//生成一个待插入的随机数
			x = rand() % 100;
			//显示刚刚插入的数
			cout<<"插入的数字是"<<x<<endl;
			node *z = new node(T->nil, x);
			Min_Gap_Insert(T, z);
			//输出min-gap
			cout<<"min-gap = "<<Min_Gap(T->root)<<endl;
			break;
			}
			//删除一个关键字
		case 'D':
			{
			//输入待删除的数
			cin>>x;
			//先从集合中找到值为x的数
			node *ret = Min_Gap_Search(T->root, x);
			//集合中有这个数，则删除，没有则不处理
			if(ret == T->nil)
				cout<<"not exist"<<endl;
			else
				Min_Gap_Delete(T, ret);
			//输出min-gap
			cout<<"min-gap = "<<Min_Gap(T->root)<<endl;
			break;
			}
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

四、测试代码