命题逻辑的推理理论

主要内容

1. 推理的形式结构：

• ①推理的前提
• ②推理的结论
• ③推理正确
• ④有效结论

2. 判断推理是否正确的方法：

• ①真值表法
• ②等值演算法
• ③主析取范式法

3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明

4. ①自然推理系统P的定义
②自然推理系统P的推理规则：
    前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。
③附加前提证明法
④归谬法 

学习要求

1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即

• ①{A₁,A₂,…,A_k}├B
• ②A₁∧A₂∧…∧A_k→B
• ③前提与结论分开写：
•  前提：A₁,A₂,…,A_k
•  结论：B
  

在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。

2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。

3. 牢记P系统中的各条推理规则。

4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。

5. 会用附加前提证明法和归谬法。

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推理的形式结构

有效推理

数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。

定义3.1 设A₁,A₂,…,A_k和B都是命题公式，若对于A₁,A₂,…,A_k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A₁∧A₂ ∧…∧A_k为假，或者当A₁∧A₂ ∧…∧A_k为真时，B也为真，则称由前提A₁,A₂,…,A_k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。

关于定义3.1还需要做以下几点说明：

• 1.由前提A₁,A₂,…,A_k推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B的推理记为Г├ B。若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。这里，可以称Г├B和{ A₁,A₂,…,A_k}├ B 为推理的形式结构。
• 2.设A₁,A₂,…,A_k，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α₁,α₂,…,α_n(α_i =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种：
• (1) A₁∧A₂ ∧…∧A_k为0，B为0.
• (2) A₁∧A₂ ∧…∧A_k为0，B为1.
• (3) A₁∧A₂ ∧…∧A_k为1，B为0.
• (4) A₁∧A₂ ∧…∧A_k为1，B为1.

由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。

• 3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。

例3.1 判断下列推理是否正确：
    (1){p,p→q}q
    (2){p,q→p}q

    解 只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提合取式为真，而推论为假的情况。
    (1)由表3.1可知，没有出现前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(1)中推理正确，即{p,p→q}q.
    (2)由表3.1可知，在赋值为10情况下，出现了前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(2)推理不正确，即{p,q→p}q.

表3.1

    对于本例这样简单的推理，不用写真值表也可以判断推理是否正确。在(1)中，当q为假时，无论p是真是假，p∧(p→q)均为假，因而不会出现前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理正确。而在(2)中，当q为假，p为真时，出现了前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理不正确。

有效推理的等价定理

定理3.1 命题公式A₁,A₂,…,A_k推B的推理正确当且仅当
                          (A₁∧A₂∧…∧A_k )→B
为重言式。

    证 首先证明其必要性。若A₁,A₂,…,A_k推B的推理正确，则对于A₁,A₂,…,A_k,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出现A₁∧A₂∧…∧A_k为真，而B为假的情况，因而在任何赋值下，蕴涵式(A₁∧A₂∧…∧A_k )→B均为真，故它为重言式。

        再证明其充分性。若蕴涵式(A₁∧A₂∧…∧A_k)→B为重言式，则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况，即在任何赋值下，或者A₁∧A₂∧…∧A_k为假，或者A₁∧A₂∧…∧A_k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。

由此定理知，推理形式：
    前提：A₁,A₂,…,A_k     
    结论：B

是有效的当且仅当(A₁∧A₂∧…∧A_k)→B为重言式。(A₁∧A₂∧…∧A_k)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确

                {A₁,A₂,…,A_k}B

可记为

                 A₁∧A₂∧…∧A_kB

其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。

而判断命题公式永真性有三个方法：

• 1． 真值表法
• 2． 等值演算法 
• 3． 主析取范式法

重言蕴涵式

由上小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为AB，下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称

• 1. A(A∨B)                              附加律
• 2. (A∧B)A                                  化简律 
• 3. (A→B)∧AB                            假言推理
• 4. (A→B)∧┐B┐A                        拒取式 
• 5. (A∨B)∧┐BA                          析取三段论
  
• 6. (A→B)∧(B→C)(A→C)                  假言三段论
• 7. (AB)∧(BC)(AC)                等价三段论 
• 8. (A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D)          构造性二难
•     (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A)B           构造性二难 (特殊形式) 
• 9. (A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)(┐A∨┐C)                            破坏性二难
  

这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。

自然推理系统 P

形式推理系统

我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。

定义3.2 一个形式系统I由下面四个部分组成：
    （1） 非空的字符表集，记作A(I)。
    （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。
    （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作A_X(I)。
    （4） 推理规则集，记作R(I)。
可以将I记为<A(I),E(I),A_X(I),R(I)>.其中<A(I),E(I)>是I的形式语言系统，<A_X(I),R(I)>为I的形式演算系统。

    形式系统一般分为两类。一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）。另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。

自然推理系统 P

P是一个自然推理系统，因而没有公理。故P只有三个部分。

定义3.3 自然推理系统P定义如下：

    1．字母表
    （1） 命题变项符号：p，q，r，…,p_i，q_i，r_i，…
    （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→,
    （3） 括号和逗号：( , )，，

    2．合式公式 同定义1.6

    3．推理规则
    （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。
    （2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
    （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
    由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。
    （4） 假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律(A→B)∧AB可知，B是A→B和A的有效结论。由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。用图式表示为如下形式：
        
  以下各条推理定律直接以图式给出，不再加以说明。
    （5） 附加规则：
        
    （6） 化简规则：
        
    （7） 拒取式规则：
        
    （8） 假言三段论规则：
        
    （9） 析取三段论规则：
        
    （10） 构造性二难推理：
        
    （11） 破坏性二难推理规则：
        
    （12） 合取引入规则：
        
本条规则说明，若证明的公式序列中已出现A和B ，则可将A∧B引入序列中。这就完成了P的定义。

P中的证明

P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。当然此结论也为P中公式。

例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：

    (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s
       结论：r∧(p∨q)
    (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s
       结论：p→s

   解  (1)证明：
    ① p→s      前提引入
    ② ┐s       前提引入
    ③ ┐p       ①②拒取式
    ④ p∨q      前提引入
    ⑤ q         ③④析取三段论
    ⑥ q→r      前提引入
    ⑦ r         ⑤⑥假言推理
    ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取
    此证明的序列长为8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q)是有效结论。

    (2)证明：
    ① ┐p∨q    前提引入
    ② p→q      ①置换
    ③ r∨┐q    前提引入
    ④ q→r      ③置换
    ⑤ p→r      ②④假言三段论
    ⑥ r→s      前提引入
    ⑦ p→s      ⑤⑥假言三段论
    从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。

可以在自然推理系统P中构造数学和日常生活中的一些推理，所得结论都是有效的，即当各前提的合取式为真时，结论必为真。

例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
    若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。所以a是无理数。

    解 首先将简单命题符号化：
    设 p：a是实数。      q：a是有理数。  r：a是无理数。     s：a能表示成分数。
    前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s
    结论：r
    证明：
    ① p∧┐s    前提引入
    ② p         ①化简
    ③ ┐s       ①化简
    ④ p→(q∨r) 前提引入
    ⑤ q∨r      ②④假言推理
    ⑥ ┐s→┐q  前提引入
    ⑦ ┐q       ③⑥假言推理
    ⑧ r         ⑤⑦析取三段论

    P中证明的两个常用技巧：
     1．附加前提证明法
     2．归谬法

附加前提法

有时推理的形式结构具有如下形式
      （A₁∧A₂∧…∧A_k)→(A→B)         （3.5）
（3.5）式中结论也为蕴涵式。此时可将结论中的前件也作为推理的前提，使结论只为B。即，将（3.5）化为下述形式

      (A₁∧A₂∧…∧A_k∧A)→B            （3.6）

其正确性证明如下：
        （A₁∧A₂∧…∧A_k)→(A→B)）
      ┐(A₁∧A₂∧…∧A_k)∨(┐A∨ B）
      ┐(A₁∧A₂∧…∧A_k∨┐A)∨B
      ┐(A₁∧A₂∧…∧A_k∧A)∨B
      (A₁∧A₂∧…∧A_k∧A)→B 

    因为（3.5）式与（3.6）式是等值的，因而若能证明（3.6）式是正确的，则（3.5）式也是正确的。用形式结构（3.6）式证明，将A称为附加前提，并称此证明法为附加前提证明法。

例3.5 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
    如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。

    解 将简单命题符号化：
    设 p:小张去看电影。        q:小王去看电影。        r:小李去看电影。        s:小赵去看电影。
    前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q
    结论：s→r
    证明：用附加前提证明法。
    ① s         附加前提引入
    ② ┐s∨p    前提引入
    ③ p         ①②析取三段论
    ④ (p∧q)→r 前提引入
    ⑤ q         前提引入
    ⑥ p∧q      ③⑤合取
    ⑦ r         ④⑥假言推理

    思考：不用附加前提证明法构造例3.5的证明

归谬法

在构造形式结构为

        (A₁∧A₂∧…∧A_k)→B

的推理证明中，如果将┐B作为前提能推出矛盾来，比如说得出(A∧┐A)，则说明推理正确。其原因如下：

        (A₁∧A₂∧…∧A_k)→B
      ┐(A₁∧A₂∧…∧A_k)∨B
      ┐(A₁∧A₂∧…∧A_k∧┐B)

若(A₁∧A₂∧…∧A_k∧┐B)为矛盾式，正说明(A₁∧A₂∧…∧A_k)→B为重言式，即 (A₁∧A₂∧…∧A_k)B,

故推理正确。

 例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。

    如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名；小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。

    解 先将简单命题符号化。

    设 p:小张守第一垒。
       q:小李向B队投球。
       r:A队取胜。
       s:A队获得联赛第一名。

    前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p
    结论：┐q
    证明：用归谬法

    ① q         结论的否定引入
    ② ┐r∨s    前提引入
    ③ ┐s       前提引入
    ④ ┐r       ②③析取三段论
    ⑤ (p∧q)→r 前提引人
    ⑥ ┐(p∧q)  ④⑤拒取式
    ⑦ ┐p∨┐q  ⑥置换
    ⑧ p         前提引入
    ⑨ ┐q       ⑦⑧析取三段论
    ⑩ q∧┐q    ①⑨合取

    由于最后一步q∧┐q0，即(((p∧q)→r)∧(┐r∨s)∧┐s∧p)∧q0，所以推理正确。

    思考：不用归谬法证明例3.6

习题

1．判断下面推理是否正确。先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：
  （1）若今天是星期一，则明天是星期三；今天是星期一。所以明天是星期三。
  （2）若今天是星期一，则明天是星期二；明天是星期二。所以今天是星期一。
  （3）若今天是星期一，则明天是星期三；明天不是星期三。所以今天不是星期一。
  （4）若今天是星期一，则明天是星期二；今天不是星期一。所以明天不是星期二。
  （5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。
  （6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。所以明天不是星期三。

2．在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
  （1）前提：p→(q→r), p, q
       结论：r∨s
  （2）前提：p→q, ┐(q∧r), r
       结论：┐p
  （3）前提：p→q
       结论：p→(p∧q)
  （4）前提：q→p, qs, st, t∧r
       结论：p∧q
  （5）前提：p→r, q→s, p∧q
       结论：r∧s
  （6）前提：┐p∨r, ┐q∨s, p∧q
       结论：t→(r∨s)

3．在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：
  （1）前提：p→(q→r), s→p, q
       结论：s→r
  （2）前提：(p∨q)→(r∧s), (s∨t)→u
       结论：p→u

4．在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：
  （1）前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s
       结论：┐p
  （2）前提：p∨q, p→r, q→s
       结论：r∨s

5．在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
  （1）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。所以，小王是文科生。
  （2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。所以，如果我看书，则明天是雨天。

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答案

1．设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。
  （1）推理的形式结构为     (p→r)∧p→r
 此形式结构为重言式，即     (p→r)∧pr
 所以推理正确。
  （2）推理的形式结构为     (p→q)∧q→p
 此形式结构不是重言式，故推理不正确。
  （3）推理形式结构为     (p→r)∧┐r→┐p
 此形式结构为重言式，即     (p→r)∧┐r┐p
 故推理正确。
  （4）推理形式结构为     (p→q)∧┐p→┐q
 此形式结构不是重言式，故推理不正确。
  （5）推理形式结构为     p→(q∨r)
 它不是重言式，故推理不正确。
  （6）推理形式结构为     (pr)∧┐p→┐r
 此形式结构为重言式，即     (pr)∧┐p┐r
 故推理正确。　

  推理是否正确，可用多种方法证明。证明的方法有真值表法、等式演算法。证明推理正确还可用构造证明法。

  下面用构造证明法证明（6）推理正确。
  前提: pr, ┐p
  结论: ┐r
  证明: ① pr                     前提引入
        ② (p→r)∧(r→p)            ①置换
        ③ r→p                      ②化简律
        ④ ┐p                       前提引入
        ⑤ ┐r                       ③④拒取式

  所以，推理正确。

2． （1）证明：

	①p→(q→r)	前提引入
	②p	前提引入
	③q→r	①②假言推理
	④q	前提引入
	⑤r	③④假言推理
	⑥r∨s	⑤附加律

  （2）证明：

	①┐(q∧r)	前提引入
	②┐q∨┐r	①置换
	③r	前提引入
	④┐q	②③析取三段论
	⑤p→q	前提引入
	⑥┐p	④⑤拒取式

  （3）证明：

	①p→q	前提引入
	②┐p∨q	①置换
	③(┐p∨q)∧(┐p∨p)	②置换
	④┐p∨(p∧q)	③置换
	⑤p→(p∧q)	④置换

  也可以用附加前提证明法，更简单些。
  （4）证明：

	①st	前提引入
	②(s→t)∧(t→s)	①置换
	③t→s	②化简
	④t∧r	前提引入
	⑤t	④化简
	⑥s	③⑤假言推理
	⑦qs	前提引入
	⑧(s→q)∧(q→s)	⑦置换
	⑨s→q	⑧化简
	⑩q	⑥⑨假言推理
	q→p	前提引入
	p	⑩假言推理
	p∧q	⑩合取

  （5）证明：

	①p→r	前提引入
	②q→s	前提引入
	③p∧q	前提引入
	④p	③化简
	⑤q	③化简
	⑥r	①④假言推理
	⑦s	②⑤假言推理
	⑧r∧s	⑥⑦合取

  （6）证明：

	①t	附加前提引入
	②┐p∨r	前提引入
	③p∧q	前提引入
	④p	③化简
	⑤r	②④析取三段论
	⑥r∨s	⑤附加

  说明：证明中，附加提前t，前提┐q∨s没用上。这仍是正确的推理。

3．  （1）证明：

	①s	附加前提引入
	②s→p	前提引入
	③p	①②假言推理
	④p→(q→r)	前提引入
	⑤q→r	③④假言推理
	⑥q	前提引入
	⑦r	⑤⑥假言推理

  （2）证明：

	①p	附加前提引入
	②p∨q	①附加
	③(p∨q)→(r∧s)	前提引入
	④r∧s	②③假言推理
	⑤s	④化简
	⑥s∨t	⑤附加
	⑦(s∨t)→u	前提引入
	⑧u	⑥⑦假言推理

4．（1）证明：

	①p	结论否定引入
	②p→┐q	前提引入
	③┐q	①②假言推理
	④┐r∨q	前提引入
	⑤┐r	③④析取三段论
	⑥r∧┐s	前提引入
	⑦r	⑥化简
	⑧┐r∧r	⑤⑦合取

  ⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。

  （2）证明：

	①┐(r∨s)	结论否定引入
	②p∨q	前提引入
	③p→r	前提引入
	④q→s	前提引入
	⑤r∨s	②③④构造性二难
	⑥┐(r∨s)∧(r∨s)	①⑤合取

  ⑥为矛盾式，所以推理正确。

5．（1）    令p：小王是理科生，q：小王是文科生，r：小王学好数学。
    前提：p→r, ┐q→p, ┐r
    结论：q
    证明：

	①p→r	前提引入
	②┐r	前提引入
	③┐p	①②拒取式
	④┐q→p	前提引入
	⑤q	③④拒取式

  （2）   令p：明天是晴天，q：明天是雨天，r：我看电影，s：我看书。
   前提： p∨q, p→r, r→┐s
   结论： s→q
   证明：

	①s	附加前提引入
	②r→┐s	前提引入
	③┐r	①②拒取式
	④p→r	前提引入
	⑤┐p	③④拒取式
	⑥p∨q	前提引入
	⑦q	⑤⑥析取三段论

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