凸包算法

http://blog.csdn.net/foreverlin1204/article/details/6221986

  其实这个算法是在一年前得某场比赛中临时抱佛脚学的，今天重新的来温习了一遍

如何来理解凸包？一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包问题了。这可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩，用一根绳子把他们尽量紧地圈起来，这就是凸包了，百度百科中的这张图很生动+活泼+形象，所以你懂的

好说完这个我们首先要来了解下极角排序和左转判定

极角排序：就是选取一个最左的点，按y最小，其次x最小来定义，接下来所有的点针对该点的射线，

               按角度由小到大，若相同按距离由近到远来排序

左转判定：这个和叉积有关，对于向量p1(x1,y1),p2(x2,y2)如果x1*y2-x2*y1>0,则从p1到p2左转

 

我学的是Graham算法，那么接下来来介绍下该算法

（1）选取最下左的点P0

（2）计算出每个点相对于P0的角度和距离(利用这个来排序)排序

（3）设点数为n，将p[n-1]和p[0]入栈，判断点集合是否为一条直线（初始k=2表示当前凸包的大小）

（4）i从1到n-1遍历，对于p[k-1],p[k-2],p[i]若满足左转，将p[i]压入栈

        否则i--，k--

（5）k--,返回k表示凸包的点数

 

下面是我写的模板

 

 

 

 int Polygon::Graham(Polygon &con){//别用自己做对象
     int t=0,i;
     Point tmp;
     //先y最小再x最小
     for(i=1;i<n;i++)if(p[i]<p[t])t=i;
     swap(p[t],p[0]);
     for(i=0;i<n;i++){
         tmp=p[i]-p[0];
         p[i].dis=tmp.Len2();
         p[i].angle=atan2(tmp.y,tmp.x);
         }
     sort(p,p+n,_cmp);
     //for(int i=0;i<n;i++)p[i].out();
     //cout<<"***"<<endl;
     int k=0;
     con.p[k++]=p[n-1];
     con.p[k++]=p[0];
     if(Sig(p[1].angle-p[n-1].angle)==0)con.p[k++]=p[n-1];//凸包为一线段
     else{
         for(i=1;i<n;i++){
             //con[k-1].out();
             //con[k-2].out();
             //p[i].out();
             if(Sig(Cross(con.p[k-1],con.p[k-2],p[i]))>0)con.p[k++]=p[i];
             else {i--;k--;}
             //cout<<"---"<<endl;
             //for(int j=0;j<k;j++)con[j].out();
             //system("pause");
             }
         }
     return con.n=--k;
     }
 /*
 9
 1 4
 3 6
 5 7
 2 2
 3 3
 5 4
 8 3
 9 6
 7 1
 */

  http://funnyxj.blog.163.com/blog/static/2045901602012314324540/

凸包  

2012-04-14 15:02:45|  分类： 算法|字号 订阅

先理解下凸包

说凸包首先要说凸性的定义，简单点说就是平面邻域中任意两点所在的线段上的点都在该邻域中，则该邻域具有凸性。简单推敲一下，就可以发现如果邻域中存在一阶导数不连续的点一定无法被某点集线性表示出来。再往下的内容属于数学分析了，对我们的算法设计帮助不大，暂时先不管。

一般的计算几何问题都是处理的离散点集形成的平面域，所以我们感兴趣的是怎样找一个包含这个点集的面积最小的凸多边形，这就是凸包。作为常识也应该知道凸包上的顶点必然是该点集的子集，所以根据此性质我们就可以设计高效算法。

下面将介绍三种求平面点集凸包的方法，要特别注意求多边形的凸包和平面点集的凸包的联系，这样才有助于深入学习。

Gift wrapping method：这招我想还是不说了，因为我觉得应该不会有人会用，除了比较好理解外没什么好处。

Graham-Scan：这应该是最早的O(nlgn)算法了，实现也比较简单， 其基本思想是维护一个凸曲线，因此它要求算法开始时必须至少知道一个必然在凸包上的点作为其始点（还好这比较简单）。它有个缺点就是直接用它去求一个给定 多边形的凸包可能会导致错误（算法艺术上给了样例），因此算法开始前必须将点有序化。

Melkman：迄今为止最好的凸包算法了，我强烈推荐的算法。它的基本操作和 Graham-Scan一样，只不过它在任意时候都求得当前已考察点所形成的凸包，所以它有一个无可比拟的优势就是它是一个在线算法（要想往点集中增加一 个点不必重新计算）。对于给定一个多边形，它可以直接求其凸包而不用先有序化。而它还有个最大的好处是实现非常简单，所以特别适合比赛中使用。

 

虽说Melkman好，但是Graham_scan却是常用的

 

预备篇　点的排序与左转判定

 

点的排序

 

　　找给定点集的凸包，通常需要一些预处理过程，点的排序就是其中之一。下面给出一种将点按照一定规则排序的方法，这个预处理过程在很多凸包寻找算法中都扮演重要角色。

 

<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />

1.找一个必在凸包上的点（这很容易^_^，通常取横坐标或纵坐标最小的点），记为P0，

2.连结P0与其他点，分别计算这些线段与“竖直向下方向”的夹角，按照夹角由小到达的顺序将各线段的另一端（一端是P0）标号为P1、P2、P3……

 

左转判定

 

这是经典的计算几何学问题，判断向量p1=(x1,y1)到p2=(x2,y2)是否做左转，只需要判断x1*y2-x2*y1的正负，如果结果为正，则从p1到p2做左转。也就是向量的叉积。

Graham算法是这样的

1.将各点排序（请参看基础篇），为保证形成圈，把P0在次放在点表的尾部；

2.准备堆栈：建立堆栈S，栈指针设为t，将0、1、2三个点压入堆栈S；

3.对于下一个点i

　　　只要S[t-1]、S[t]、i不做左转

　　　　　就反复退栈；

　　　将i压入堆栈S

4.堆栈中的点即为所求凸包；

 

　　其核心用C语言表示，仅仅是下面一段：

    t=-1;

    s[++t]=0; s[++t]=1; s[++t]=2;

    for (i=3;i<n;i++)

    {

        while (!left(s[t-1],s[t],i))

            t--;

        s[++t]=i;

    }

比较完整的代码

int top;//凸包的顶点个数
struct point
{
 int x,y;
}p[maxn],stack[maxn];

int max(int a,int b)
{
 return a>b?a:b;
}

int dis(point p1,point p2)//两点的距离的平方
{
 return (p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y);
}

//叉积，结果小于表示向量p0p1的极角大于p0p2的极角，等于则两向量共线
int  multi(point p1, point p2, point p0)
{

    return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);
}

int cmp(point a,point b)
{
 if(multi(a,b,p[0])>0)
  return 1;
 if(multi(a,b,p[0])==0&&dis(a,p[0])<dis(b,p[0]))
  return 1;
 return 0;
}

//Graham_scan的精华
void Graham_scan(point p[],point stack[],int n)
{
 
 int i,j,k=0;
 top=2;
 point temp;
 //寻找最下且偏左的点
 for(i=1;i<n;i++)
  if(p[i].y<p[k].y||((p[i].y==p[k].y)&&(p[i].x<p[k].x)))
   k=i;
 //将该点指定为p【0】；
 temp=p[0];
 p[0]=p[k];
 p[k]=temp;
 //按极角从小到大，距离偏短进行排序

 //以上是本质，如果按以上的写，可能会超时，还是用下面的sort
 sort(p+1,p+n,cmp);
 //核心
 stack[0]=p[0],stack[1]=p[1],stack[2]=p[2];
 for(i=3;i<n;i++)
 {
  while(top>1&&multi(p[i],stack[top],stack[top-1])>=0)
   top--;
  stack[++top]=p[i];
 }
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef struct Point
{
    int x,y;
    bool operator<(Point p)const
    {
        return x<p.x||(x==p.x&&y<p.y);
    }
};
Point point[1000002],p[1000002];
Point tmp;
bool xmulti(Point a,Point b,Point c)
{
    return (a.x-c.x)*(b.y-c.y)-(b.x-c.x)*(a.y-c.y)>0;
}
int dis(Point a,Point b)
{
    return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}
int cmp(Point a,Point b)
{
    if(xmulti(a,b,tmp)>0)  return 1;
    if(xmulti(a,b,tmp)==0&&dis(a,tmp)<dis(b,tmp))  return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    int n,num=1;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&point[i].x,&point[i].y);
        }
        int k=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
        if(point[i].x<point[k].x||(point[i].x==point[k].x&&point[i].y<point[k].y))
        {
            k=i;
        }
        tmp=point[0];
        point[0]=point[k];
        point[k]=tmp;
        sort(point,point+n,cmp);
        p[0]=point[0],p[1]=point[1];
        int top=1;
        for(int i=2;i<n;i++)
        {
            while(top&&xmulti(p[top],p[top-1],point[i])<0)  top--;
            p[++top]=point[i];
        }
        printf("Case %d:\n",num++);
        for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d %d\n",p[i].x,p[i].y);

    }
    return 0;
}

http://www.cnblogs.com/devymex/archive/2010/08/09/1795392.html

概念

凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。

这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）

 

问题

给定平面上的二维点集，求解其凸包。

 

过程

1. 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。

 

 

2. 线段<H, K>一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K, C>也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K, D>才会在凸包上，所以将线段<K, C>排除，C点不可能是凸包。

3. 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为p_{n + 1}，上一点为p_n，再上一点为p_{n - 1}。顺时针扫描时，如果向量<p_{n - 1}, p_n>与<p_n, p_{n + 1}>的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。

 

 

在上图中，加入K点时，由于线段<H,K>相对于<H,C>为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段<K, D>相对<H, K>为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍例完成，即得到凸包。

 

复杂度

这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O(1)。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn)。后面的扫描过程复杂度为O(n)，因此整个算法的复杂度为O(nlgn)。

 

C++/STL实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <math.h>
using  namespace  std;
//二维点(或向量)结构体定义
#ifndef _WINDEF_
struct  POINT { int  x; int  y; };
#endif
typedef  vector<POINT> PTARRAY;
//判断两个点(或向量)是否相等
bool  operator==( const  POINT &pt1, const  POINT &pt2) {
    return  (pt1.x == pt2.x && pt1.y == pt2.y);
}
// 比较向量中哪个与x轴向量(1, 0)的夹角更大
bool  CompareVector( const  POINT &pt1, const  POINT &pt2) {
    //求向量的模
    float  m1 = sqrt (( float )(pt1.x * pt1.x + pt1.y * pt1.y));
    float  m2 = sqrt (( float )(pt2.x * pt2.x + pt2.y * pt2.y));
    //两个向量分别与(1, 0)求内积
    float  v1 = pt1.x / m1, v2 = pt2.x / m2;
    //如果向量夹角相等，则返回离基点较近的一个，保证有序
    return  (v1 > v2 || v1 == v2 && m1 < m2);
}
//计算凸包
void  CalcConvexHull(PTARRAY &vecSrc) {
    //点集中至少应有3个点，才能构成多边形
    if  (vecSrc.size() < 3) {
        return ;
    }
    //查找基点
    POINT ptBase = vecSrc.front(); //将第1个点预设为最小点
    for  (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin() + 1; i != vecSrc.end(); ++i) {
        //如果当前点的y值小于最小点，或y值相等，x值较小
        if  (i->y < ptBase.y || (i->y == ptBase.y && i->x > ptBase.x)) {
            //将当前点作为最小点
            ptBase = *i;
        }
    }
    //计算出各点与基点构成的向量
    for  (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin(); i != vecSrc.end();) {
        //排除与基点相同的点，避免后面的排序计算中出现除0错误
        if  (*i == ptBase) {
            i = vecSrc.erase(i);
        }
        else  {
            //方向由基点到目标点
            i->x -= ptBase.x, i->y -= ptBase.y;
            ++i;
        }
    }
    //按各向量与横坐标之间的夹角排序
    sort(vecSrc.begin(), vecSrc.end(), &CompareVector);
    //删除相同的向量
    vecSrc.erase(unique(vecSrc.begin(), vecSrc.end()), vecSrc.end());
    //计算得到首尾依次相联的向量
    for  (PTARRAY::reverse_iterator ri = vecSrc.rbegin();
        ri != vecSrc.rend() - 1; ++ri) {
        PTARRAY::reverse_iterator riNext = ri + 1;
        //向量三角形计算公式
        ri->x -= riNext->x, ri->y -= riNext->y;
    }
    //依次删除不在凸包上的向量
    for  (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin() + 1; i != vecSrc.end(); ++i) {
        //回溯删除旋转方向相反的向量，使用外积判断旋转方向
        for  (PTARRAY::iterator iLast = i - 1; iLast != vecSrc.begin();) {
            int  v1 = i->x * iLast->y, v2 = i->y * iLast->x;
            //如果叉积小于0，则无没有逆向旋转
            //如果叉积等于0，还需判断方向是否相逆
            if  (v1 < v2 || (v1 == v2 && i->x * iLast->x > 0 &&
                i->y * iLast->y > 0)) {
                    break ;
            }
            //删除前一个向量后，需更新当前向量，与前面的向量首尾相连
            //向量三角形计算公式
            i->x += iLast->x, i->y += iLast->y;
            iLast = (i = vecSrc.erase(iLast)) - 1;
        }
    }
    //将所有首尾相连的向量依次累加，换算成坐标
    vecSrc.front().x += ptBase.x, vecSrc.front().y += ptBase.y;
    for  (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin() + 1; i != vecSrc.end(); ++i) {
        i->x += (i - 1)->x, i->y += (i - 1)->y;
    }
    //添加基点，全部的凸包计算完成
    vecSrc.push_back(ptBase);
}

int  main( void ) {
    int  nPtCnt = 100; //生成的随机点数
    PTARRAY vecSrc, vecCH;
    for  ( int  i = 0; i < nPtCnt; ++i) {
        POINT ptIn = { rand () % 20, rand () % 20 };
        vecSrc.push_back(ptIn);
        cout << ptIn.x << ", "  << ptIn.y << endl;
    }
    CalcConvexHull(vecSrc);
    cout << "\nConvex Hull:\n" ;
    for  (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin(); i != vecSrc.end(); ++i) {
        cout << i->x << ", "  << i->y << endl;
    }
    return  0;
}