动态规划——最优二叉查找树

1，问题描述：给定一个有序序列K={k1<k2<k3<,……,<kn}和他们被查询的概率P={p1,p2,p3,……,pn}，要求构造一棵二叉查找树T，使得查询所有元素的总的代价最小。对于一个搜索树，当搜索的元素在树内时，表示搜索成功。当不在树内时，表示搜索失败，用一个“虚叶子节点”来标示搜索失败的情况，因此需要n+1个虚叶子节点{d0<d1<……<dn}。其中d0表示搜索元素小于k1的失败结果，dn表示搜索元素大于kn的失败情况。di（0<i<n）表示搜索节点在ki和k(i+1)之间时的失败情况。对于应di的概率序列是Q={q0,q1,……,qn}。

2，问题分析：

在二叉树中T内搜索一次的期望代价为：

E[T]=

         (depth(ki)+1)*pi  //对每个i=1~n，搜索成功情况

       +(depth(di)+1)*qi //对每个i=0~n，搜索失败情况

3，问题求解：动态规划

步骤一：寻找最优子结构。

一个最优二叉树的子树必定包含连续范围的关键字ki~kj，1<=i<=j<=n，同时也必须含有连续的虚叶子节点di-1~dj。

如果一棵最优二叉查找树T有一棵含有关键字ki~kj的子树T'，那么，T'也是一棵最优查找树，这通过剪贴思想可以证明。

现在开始构造最优子结构：在ki~kj中，选定一个r,i<=r<=j，使以kr为根，ki~k(r-1)和k(r+1)~kj为左右孩子的最优二叉树。注意r=i或者r=j的情况，表示左子树或右子树只有虚叶子节点。

步骤二：一个递归解。

定义e[i,j]为一棵包含关键字ki~kj的最优二叉树的期望代价。当j=i-1时没有真实的关键在，只有虚叶子节点d(i-1)。

于是：

当j=i-1时，e[i,i-1]=q(i-1)。

当j>=i时，需要选择合适的kr作为根节点，然后其余节点ki~K(r-1)和k(r+1)~kj构造左右孩子。这时要考虑左右孩子这些节点成为一个节点的子树后，它的搜索代价的变化：根据E[T]的计算，得知它们的期望代价增加了“子树中所有概率的总和”w。

w[i,j]=

          pl // 对每个l=i~j

        +ql //对每个l=i-1~j

于是当j>=i时，e[i,j]=pr + (e[i,r-1]+w[i,r-1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j]) = e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j];

步骤三：计算最优二叉树的期望代价

 

e[i,j]=

          q(i-1)  //如果j=i-1

          min(e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j]),如果i<=j，其中i<=r<=j

w[i,j] =

           q(i-1) 如果j=i-1

            w[i,j]=w[i,j-1]+pj+qj 如果i<=j

实现代码如下：

1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 #define MAXNUM 100 5 #define MAX 65536 6 //p中为有序关键字k1到k5的搜索概率，k1<k2<k3<k4<k5 7 double p[MAXNUM] = {0.00,0.15,0.10,0.05,0.10,0.20}; 8 double q[MAXNUM] = {0.05,0.10,0.05,0.05,0.05,0.10}; 9 void optimal_bst(double e[][MAXNUM],int root[][MAXNUM],double w[][MAXNUM],int n) 10 { 11 int i =0,j=0; 12 //针对左或右孩子为空树情况初始化 13 for(i = 1;i<=n+1;i++) 14 { 15 e[i][i-1] = q[i-1]; 16 w[i][i-1] = q[i-1]; 17 } 18 int l = 0; 19 //计算顺序如下：根据计算式：e[i,j] = e[i,r-1]+e[r+1,j 首先计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,1],e[2,2]…… 接着计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,2],e[2,3]…… …… 最后计算结点个数为n的最优二叉树的代价e[1,n]，利用之前保存的较少结点最优二叉树的结果。 20 for(l = 1;l<=n;l++) 21 { 22 for(i = 1;i<=n-l+1;i++) 23 { 24 j = i+l-1; 25 e[i][j] = MAX; 26 w[i][j] = w[i][j-1] + p[j]+q[j]; 27 for(int r = i;r<=j;r++) 28 { 29 double t = 0; 30 t = e[i][r-1]+e[r+1][j] + w[i][j]; 31 if(t<e[i][j]) 32 { 33 e[i][j]= t; 34 root[i][j] = t; 35 } 36 } 37 38 } 39 } 40 41 } 42 int main() 43 { 44 double e[MAXNUM][MAXNUM]; 45 int root[MAXNUM][MAXNUM]; 46 double w[MAXNUM][MAXNUM]; 47 48 optimal_bst(e,root,w,5); 49 50 for(int i =1;i<=6;i++) 51 { 52 for(int j = 0;j<=5;j++) 53 { 54 cout << e[i][j] << " "; 55 } 56 cout << endl; 57 } 58 }