阶跃函数的导数为什么是冲击函数 The derivative of heaviside step function is delta function

如果我今天没搞懂这个,我估计我会抑郁到不能睡觉。

heaviside step function 就是所谓的阶跃函数:

定义

图像:

阶跃函数的导数为什么是冲击函数 The derivative of heaviside step function is delta function_第1张图片

dirac delta function 狄利克雷函数,通常所说的冲击函数:

定义:


函数图像:

阶跃函数的导数为什么是冲击函数 The derivative of heaviside step function is delta function_第2张图片


提出问题:

为什么heaviside step 函数的导数就是 dirac delta 函数呢?


感觉上是挺“靠谱”。阶跃函数嘛,在0点左右两侧导数都是0,然后0点导数无穷大,和delta函数对应得很好。

数学不是所谓“靠谱”就能搞定的。要证明,当然。。。我个数学渣渣,证明完全不行,而且各种大牛都已经证明过了。

只是。。。证明过的我都差点没看懂。于是,留下这篇blog,叨叨这个“为什么”,以及这个证明过程中,

我遇到的困惑,和怎么解决的。


看看这段话吧,

If  D  is a distribution, we want to define another distribution  D , its distributional derivative. This done by declaring  D  by  (D)(f)=D(f)

more generally, the  n -th distributional derivative  D(n)  of  D  is defined by  (D(n))(f)=(1)n(f(n)) . This is ok, since we assumed the test functions  f  

to be infinitely differentiable; it follows that distributions are infinitely differentiable (in another, in this sense). Notice the minus sign. This is because 

we want distributional derivatives to extend the ordinary derivative, notice that if  d  is differentiable,  Rd(x)f(x)dx=Rd(x)f(x)dx  since the

 boundary term vanishes by the decay condition imposed on the test functions  f .


看懂了也就知道为什么了,如果没看懂,那这篇blog还可以继续看下去。。。


我遇到的问题就是为什么

会有如此“操蛋”的事情捏。。。。。完全不符合分布积分的公式哇。。。(v*u)' = v'*u + v*u'


之后是各种苦恼。


Nothing to it.


注意这里是用了分布积分公式的!只是有一项被略去了,因为等于0!


H(x)是阶跃函数,那个希腊字母(x)是速降函数(不知道什么叫速降函数,其实就是指数函数,系数是负数)

这两个函数的乘积在正负无穷远处的值都是0,于是正无穷处的值减去负无穷处的值,0 - 0 = 0

于是就有  0    



理所当然的就有了上面的积分等式


我们用一种简单的标记方式来表示 ---->      <a , b'>


于是阶跃函数的导数为什么是冲击函数 The derivative of heaviside step function is delta function_第3张图片

Rd(x)f(x)dx=Rd(x)f(x)


b的导数就是狄利克雷函数,有木有!b是什么,阶跃函数!

阶跃函数的导数就是狄利克雷函数,证明完毕!

开心,睡觉


The . L

 于 XTU  2014.03.13 凌晨

你可能感兴趣的:(Blog,数学)