从自幂数计算谈算法优化方法
第一章 前言
1.1 参考文献
郭继展,郭勇,苏辉《程序算法与技巧精选》,机械工业出版社,2008年5月第一版,ISBN 978-7-111-23816-4,第7.3节：求自幂数——用数组预作乘法提高速度100倍。
1.2 写此文章的目的
（1）想用自己的语言总结书上的内容；
（2）用自己的笔记本电脑测试下各个方法间，效率差距究竟有多大；
（3）用自己的风格写一遍代码，加深对知识的理解，也方便以后自己复习。
1.3 自幂数定义
http://b.baidu.cn/view/8059450.htm1.4 文章概述
我会先在第二章讨论各种算法的效率问题，并贴所有源代码供读者验证，也对结果进行截图方便不愿跑代码的懒读者快速读完本篇文章。在第三章写一段计算所有自幂数的小程序。
PS：本来排版很好的，涉及到英文的书写时，博客给我自动换行换到难看死了……
第二章 算法之间的差距
2.1 最原始的思路
把pow(10,x-1)至pow(10,x)内的所有数遍历一遍，来求x位自幂数，。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
clock_t start__;
#define tic start__=clock()
#define toc cout<<(clock()-start__)*1000/CLOCKS_PER_SEC<<"ms\n"
void zms1(int x) // 自幂数拼音首字母:zms,后缀+数字用于区别不同算法的zms函数
{
int l=pow(10,x-1),r=pow(10,x),i,i0,j,t,a;
for(i=l; i<r; i++)
{
i0 = i; // 拷贝i的一个副本
for(t=j=0;j<x;j++)
{
a = i0%10; // 得到最末位的值
t += a*pow(10,j)-pow(a,x);
i0 /= 10;
}
if(t==0) cout<<i<<endl;
}
}
int main()
{
tic,zms1(7),toc;
return 0;
}
2.2 用各个位的分别穷举代替一个值的穷举
因为算法涉及到一个值各个位上的操作，每次需要进行a=i0%10; i0/=10;等操作。以七位自幂数为例，我们不妨穷举7个位上的每个值来求解。当然，这样的弊端是，函数的清晰度会降低，也无法像zms1一样具有通用性——可以通过输入参数x，求任意x位的自幂数。优点是降低循环内部的操作次数，效率会提升。我单写一个七位自幂数的函数zms2来验证。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
clock_t start__;
#define tic start__=clock()
#define toc cout<<(clock()-start__)*1000/CLOCKS_PER_SEC<<"ms\n"
void zms2()
{
int i,j,k,l,m,n,o; //用来穷举各个位的值的变量，即值本身为ijklmno
for(i=1;i<10;i++) for(j=0;j<10;j++) for(k=0;k<10;k++)
for(l=0;l<10;l++) for(m=0;m<10;m++) for(n=0;n<10;n++) for(o=0;o<10;o++)
{
if(pow(i,7)+pow(j,7)+pow(k,7)+pow(l,7)+pow(m,7)+pow(n,7)+pow(o,7)
==1000000*i+100000*j+10000*k+1000*l+100*m+10*n+o)
cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<endl;
}
}
int main()
{
tic,zms2(),toc;
return 0;
}
zms2中，判断一个数是否为自幂数的方法如if语句中所写的式子，非常清晰易懂。而zms1中方法换汤不换药，在数学里，要判断两个表达式f(x)与g(x)是否相等，可以定义h(x)=f(x)-g(x)，如果h(x)恒等于0，则f(x)=g(x)。此处道理相同，相当于用t来存储右式1000000*i+100000*j+10000*k+1000*l+100*m+10*n+o减去左式pow(i,7)+pow(j,7)+pow(k,7)+pow(l,7)+pow(m,7)+pow(n,7)+pow(o,7)的值，如果结果为t==0，则为七位自幂数。在后续的程序中，我们主要使用zms1的自幂数判断方法，用这种方法才能方便的存储中间计算值和进行回溯运算。
再回到zms1和zms2的效率分析上，zms2因为少了对原值各个位的拆解运算，效率提高了1倍多。
2.3 事先存储中间运算量
再仔细分析语句:pow(i,7)+pow(j,7)+pow(k,7)+pow(l,7)+pow(m,7)+pow(n,7)+pow(o,7)==1000000*i+100000*j+10000*k+1000*l+100*m+10*n+o，因为i,j...o只能取0~9的值，在计算pow(?,7)方面，只有10种运算——pow(0,7),pow(1,7),pow(2,7)...pow(9,7)。这意味着什么呢？在zms2进行的7*(1千万-1百万)=6300万次运算中，跑的7次幂部分，其实只有10种结果！相当于一套10道题的试卷，让你重复做630万次！！！在pow(10,?)中，也是一样的道理。
于是，我们就想到，不如把所有的中间计算值存储在一个矩阵A中，每次运算时，直接引用a[i][j]的值即可。
我们把zms2中的：pow(i,7)+pow(j,7)+pow(k,7)+pow(l,7)+pow(m,7)+pow(n,7)+pow(o,7)==1000000*i+100000*j+10000*k+1000*l+100*m+10*n+o改写为1000000*i-pow(i,7)+100000*j-pow(j,7)+10000*k-pow(k,7)+1000*l-pow(l,7)+100*m-pow(m,7)+10*n-pow(n,7)+o-pow(o,7)==0，将改写的式子分成7部分，推导出公式，存储在a[i][j]。由于说清楚此处的道理需要画表等繁琐步骤，笔者也很懒，不在此处展开，读者看代码自己慢慢琢磨领悟。抓住问题的本质——
用矩阵存储中间运算量的思想，这才是最重要的。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
clock_t start__;
#define tic start__=clock()
#define toc cout<<(clock()-start__)*1000/CLOCKS_PER_SEC<<"ms\n"
void zms3()
{
int i,j,k,l,m,n,o;
int a[7][10]; // 存储中间计算量
for(i=0;i<7;i++) for(j=0;j<10;j++)
a[i][j] = j*pow(10,6-i) - pow(j,7); // 推导出公式后赋值
for(i=1;i<10;i++) for(j=0;j<10;j++) for(k=0;k<10;k++)
for(l=0;l<10;l++) for(m=0;m<10;m++) for(n=0;n<10;n++) for(o=0;o<10;o++)
{
if(a[0][i]+a[1][j]+a[2][k]+a[3][l]+a[4][m]+a[5][n]+a[6][o]==0)
cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<endl;
}
}
int main()
{
tic,zms3(),toc;
return 0;
}
可以发现，此时程序的效率已经相当满意了。但考虑到这仅仅是七位自幂数，我们最大将会算到十位自幂数。所以到了这里我们不能骄傲自满，还要再思考能不能继续优化算法。
优化到这里，七位自幂数已经没有挑战性啦！我们直接挑战九位自幂数吧！
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
clock_t start__;
#define tic start__=clock()
#define toc cout<<(clock()-start__)*1000/CLOCKS_PER_SEC<<"ms\n"
void zms4()
{
int i,j,k,l,m,n,o,p,q;
int a[9][10]; // 存储中间计算量
for(i=0;i<9;i++) for(j=0;j<10;j++)
a[i][j] = j*pow(10,8-i) - pow(j,9); // 推导出公式后赋值
for(i=1;i<10;i++) for(j=0;j<10;j++) for(k=0;k<10;k++) for(l=0;l<10;l++) for(m=0;m<10;m++)
for(n=0;n<10;n++) for(o=0;o<10;o++) for(p=0;p<10;p++) for(q=0;q<10;q++)
{
if(a[0][i]+a[1][j]+a[2][k]+a[3][l]+a[4][m]+a[5][n]+a[6][o]+a[7][p]+a[8][q]==0)
cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<p<<q<<endl;
}
}
int main()
{
tic,zms4(),toc;
return 0;
}
2.4 每重循环有固定规律运算,采用回溯算法
仍然观察zms3中，if内的条件表达式：a[0][i]+a[1][j]+a[2][k]+a[3][l]+a[4][m]+a[5][n]+a[6][o]==0，发现进入最后一重循环，遍历o的0~910种情况时，左式中"a[0][i]+a[1][j]+a[2][k]+a[3][l]+a[4][m]+a[5][n]"整项表达式的值都是不变的！即每一重循环内的，都是提供一个固定的加数a[第几重循环-1][该重循环此次遍历的值]。因此，在进入下一重循环前，每重循环都可以事先加好该数，将左式的值统一存储在变量t上，最后判断t==0即可。
当然，对七位自幂数再做优化已经没有意义了（看不到优化带来的效果有多显著），用时很可能变成"0ms"，我们来改进九位自幂数的函数zms4。同时引入变量c来统计一共求了多少个解。同时，为了不至于有太多缩进，我把代码的排版写的很“奇异”，我个人倒是很喜欢这种“奇异”的排版形式，我认为它很清晰的展示了这是一个回溯算法。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
clock_t start__;
#define tic start__=clock()
#define toc cout<<(clock()-start__)*1000/CLOCKS_PER_SEC<<"ms\n"
void zms5()
{
int x = 9,c=0; // x代表是几位自幂数,c用于统计解的个数
int i,j,k,l,m,n,o,p,q;
int t,a[9][10]; // 存储中间计算量
for(i=0;i<x;i++) for(j=0;j<10;j++) // 这里,我们将矩阵赋值公式再进一步一般化处理
a[i][j] = j*pow(10,x-i-1) - pow(j,x); // 推广到x位自幂数的赋值
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l];
for(m=0;m<10;m++) { t += a[4][m];
for(n=0;n<10;n++) { t += a[5][n];
for(o=0;o<10;o++) { t += a[6][o];
for(p=0;p<10;p++) { t += a[7][p];
for(q=0;q<10;q++) { t += a[8][q];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<p<<q<<endl;
t -= a[8][q]; }
t -= a[7][p]; }
t -= a[6][o]; }
t -= a[5][n]; }
t -= a[4][m]; }
t -= a[3][l]; }
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }}
}
int main()
{
tic,zms5(),toc;
return 0;
}
效率又提升了2秒多。
2.5 进一步分析问题，减少不必要的循环进入
仔细分析问题，和我们存储中间变量的矩阵A，我们使用a[x-1][]行，来存储最末尾的值（记为b）,b-pow(b,x)，我们要探讨的自幂数范围是1~10，即x是1~10内的整数，简单推导下，就可以知道，无论b取0~9中的任何值，b-pow(b,x)都是非正数，所以在进入最后一重循环，加上a[x-1][b]之前，如果t的值已经是负数，就没必要进入最后一重循环了——肯定不是解。
这步优化，有些读者可能会觉得带来的效益很小。其实在自幂数问题中，效益相当之大！因为pow(某位的值,x)的值是均匀的，与某位的值所在的位置无关，且都不小，到了8,9,10次幂，值的增长也非常快。而pow(10,某位所在的位置对应的权指数)的值随遍历的各个位从左到右，越来越小。
我想表达的意思是，在自幂数问题中，t在进入最后一重循环前，有相当多的值是负的！在10次幂中比例在80%以上！用zms5的方法跑十位自幂数，需要80秒，但加入此优化后只需6秒！
这里先简单的在zms5中加上一句if语句，看看效率变化。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
clock_t start__;
#define tic start__=clock()
#define toc cout<<(clock()-start__)*1000/CLOCKS_PER_SEC<<"ms\n"
void zms6()
{
int x = 9,c=0; // x代表是几位自幂数,c用于统计解的个数
int i,j,k,l,m,n,o,p,q;
int t,a[9][10]; // 存储中间计算量
for(i=0;i<x;i++) for(j=0;j<10;j++) // 这里,我们将矩阵赋值公式再进一步一般化处理
a[i][j] = j*pow(10,x-i-1) - pow(j,x); // 推广到x位自幂数的赋值
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l];
for(m=0;m<10;m++) { t += a[4][m];
for(n=0;n<10;n++) { t += a[5][n];
for(o=0;o<10;o++) { t += a[6][o];
for(p=0;p<10;p++) { t += a[7][p]; if(t<0) {t-=a[7][p];continue;}
for(q=0;q<10;q++) { t += a[8][q];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<p<<q<<endl;
t -= a[8][q]; }
t -= a[7][p]; }
t -= a[6][o]; }
t -= a[5][n]; }
t -= a[4][m]; }
t -= a[3][l]; }
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }}
}
int main()
{
tic,zms6(),toc;
return 0;
}
九位自幂数再进入最后一重循环前,t值为负的比例还不大。故运算仅快了20%多。
在计算十位自幂数时，中间运算量将会超出32位整型的数值范围，所以必须使用__int64来定义t和a。这样也会造成效率的降低。
九位自幂数改用__int64时，代码及结果如下：
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
clock_t start__;
#define tic start__=clock()
#define toc cout<<(clock()-start__)*1000/CLOCKS_PER_SEC<<"ms\n"
void zms7()
{
int x = 9,c=0; // x代表是几位自幂数,c用于统计解的个数
int i,j,k,l,m,n,o,p,q;
__int64 t,a[9][10]; // 存储中间计算量
for(i=0;i<x;i++) for(j=0;j<10;j++) // 这里,我们将矩阵赋值公式再进一步一般化处理
a[i][j] = j*pow(10,x-i-1) - pow(j,x); // 推广到x位自幂数的赋值
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l];
for(m=0;m<10;m++) { t += a[4][m];
for(n=0;n<10;n++) { t += a[5][n];
for(o=0;o<10;o++) { t += a[6][o];
for(p=0;p<10;p++) { t += a[7][p]; if(t<0) {t-=a[7][p];continue;}
for(q=0;q<10;q++) { t += a[8][q];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<p<<q<<endl;
t -= a[8][q]; }
t -= a[7][p]; }
t -= a[6][o]; }
t -= a[5][n]; }
t -= a[4][m]; }
t -= a[3][l]; }
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }}
}
int main()
{
tic,zms7(),toc;
return 0;
}
到此，关于效率的问题讨论完毕。
第三章 自幂数计算小程序
在这里，贴出1~10位自幂数运算的完整程序（在笔者借助参考文献，所能达到的最优的算法），由于是很有规律的套用多重循环，我也想过能不能用一个递归函数写一个通用算法，但貌似不太容易，在我的水平内做不到，且估计效率会大打折扣。就很蹩脚的为10种自幂数写了10段多重循环。不过很有规律，代码编写中复制粘贴即可……
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
clock_t start__;
#define tic start__=clock()
#define toc cout<<(clock()-start__)*1000/CLOCKS_PER_SEC<<"ms\n"
int main()
{
void zms(int);
int x;
while(cout<<"请输入要计算几位自幂数:",cin>>x)
{
if(x<1||x>10)
{
cout << "输入非法,请重输\n";
continue;
}
zms(x);
cout << endl;
}
return 0;
}
void zms(int x)
{// 输入参数值只能为[1,10]的整数
int c = 0; // 统计解的个数
int i,j,k,l,m,n,o,p,q,r;// 各个位的数字枚举变量
__int64 t,a[10][10]; //10位自幂数需要用int64,与int差别是9位自幂数计算5秒变8秒
tic;
switch(x)
{
case 1: cout << "一位自幂数(独身数):" << endl; break;
case 2: cout << "二位自幂数(无):" << endl; break;
case 3: cout << "三位自幂数(水仙花数):" << endl; break;
case 4: cout << "四位自幂数(四叶玫瑰数):" << endl; break;
case 5: cout << "五位自幂数(五角星数):" << endl; break;
case 6: cout << "六位自幂数(六合数):" << endl; break;
case 7: cout << "七位自幂数(北斗七星数):" << endl; break;
case 8: cout << "八位自幂数(八仙数):" << endl; break;
case 9: cout << "九位自幂数(九九重阳数):" << endl; break;
case 10: cout << "十位自幂数(十全十美数):" << endl; break;
}
for(i=0;i<x;i++) for(j=0;j<10;j++)
a[i][j] = j*pow(10,x-i-1) - pow(j,x);
switch(x)
{
case 1:
printf("%2d: 0\n",++c);
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<endl;
} break;
case 2:
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<endl;
t -= a[1][j]; }} break;
case 3:
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j]; // if(t<0){t-=a[1][j];continue;}
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<endl;
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }} break;
case 4:
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k]; if(t<0){t-=a[2][k];continue;}
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<endl;
t -= a[3][l]; }
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }} break;
case 5:
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l]; if(t<0){t-=a[3][l];continue;}
for(m=0;m<10;m++) { t += a[4][m];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<m<<endl;
t -= a[4][m]; }
t -= a[3][l]; }
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }} break;
case 6:
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l];
for(m=0;m<10;m++) { t += a[4][m]; if(t<0){t-=a[4][m];continue;}
for(n=0;n<10;n++) { t += a[5][n];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<endl;
t -= a[5][n]; }
t -= a[4][m]; }
t -= a[3][l]; }
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }} break;
case 7:
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l];
for(m=0;m<10;m++) { t += a[4][m];
for(n=0;n<10;n++) { t += a[5][n]; if(t<0){t-=a[5][n];continue;}
for(o=0;o<10;o++) { t += a[6][o];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<endl;
t -= a[6][o]; }
t -= a[5][n]; }
t -= a[4][m]; }
t -= a[3][l]; }
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }} break;
case 8:
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l];
for(m=0;m<10;m++) { t += a[4][m];
for(n=0;n<10;n++) { t += a[5][n];
for(o=0;o<10;o++) { t += a[6][o]; if(t<0){t-=a[6][o];continue;} // 这里加if,800ms+变500ms+
for(p=0;p<10;p++) { t += a[7][p];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<p<<endl;
t -= a[7][p]; }
t -= a[6][o]; }
t -= a[5][n]; }
t -= a[4][m]; }
t -= a[3][l]; }
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }} break;
case 9:
for(i=1;i<10;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l];
for(m=0;m<10;m++) { t += a[4][m];
for(n=0;n<10;n++) { t += a[5][n];
for(o=0;o<10;o++) { t += a[6][o];
for(p=0;p<10;p++) { t += a[7][p]; if(t<0){t-=a[7][p];continue;} // 这里加if,8秒变5秒
for(q=0;q<10;q++) { t += a[8][q];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<p<<q<<endl;
t -= a[8][q]; }
t -= a[7][p]; }
t -= a[6][o]; }
t -= a[5][n]; }
t -= a[4][m]; }
t -= a[3][l]; }
t -= a[2][k]; }
t -= a[1][j]; }} break;
case 10:
for(i=4;i<5;i++) { t = a[0][i];
for(j=0;j<10;j++) { t += a[1][j];
for(k=0;k<10;k++) { t += a[2][k];
for(l=0;l<10;l++) { t += a[3][l];
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for(p=0;p<10;p++) { t += a[7][p];
for(q=0;q<10;q++) { t += a[8][q]; if(t<0){t-=a[8][q];continue;} // 我擦,这里加个负值判断，80秒变成6秒！
for(r=0;r<10;r++) { t += a[9][r];
if(!t) printf("%2d: ",++c),cout<<i<<j<<k<<l<<m<<n<<o<<p<<q<<r<<endl;
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cout<<"求解完毕！共用时"; toc;
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