Khan公开课 - 统计学学习笔记：（六）中心极限定理

什么是中心极限定理

中心极限定理Central Limit Theorem：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n的正态分布。

注意：原来的分布不一定要符合正态分布，可以是任何的分布，可以是离散也可以是连续，即无要求。n为sample size，每次取n个样本，每次样本的mean，分别为： 。这些样本均值的分布似正态分布。当n到达一定大时，sample mean的频率分布很好符合normal distribution。

在同样取样次数，例如取10000次样本均值，n越大，skew和kurtosis越接近零，说明n越大，越接近正态分布。这个可以想象，n=1，就如同原来的分布，n→∞时，mean就是μ，无方差的正态分布，直线一条。

正态分布适用于样本均值，不管原来分布是怎样，即sampling distribution of the sample mean当sample size n越大时，越趋向正态分布，且收敛得很快，即n=10的或者更小的时候已经和正态分布非常相似，故用途非常广泛。

注意是趋向，例如有些分布式有范围的，而正态分布只有x趋向±∞时，才为0。

中心极限定理的例子

中心极限定理的应用范围很广泛，例如我们知道一个分布（可以是非正态分布）的均值和标准差，例如一个户外饮水的例子，当我们组织一个50人的队伍时，这50人的人均饮水量符合正态分布，带多少水有90%概率能完全满足。这就是推导和的例子。

在实际的应用情景中，通常采样情况可知，而总本情况不详，需要估计总本情况，如下面置信区间的例子：You sample 36 apples from you farm‘s harvest of over 200,000 apples. The mean weight of the sample is 112 grams (with a 40 gram sample standard deviation). What is the probability that the mean weight of all 200,000 apples is within 100 and 124 grams?

这里给出一个样本集的情况，这36个样本（或者n=36的一次样本集采样中）=112，这36个样本的σ=40。注意这里给出的是一个样本集的情况，不是多个样板集的sampling distribution of the sample mean。从样本的方差，可以估算总本方差。

还记得无偏差样本方差吗？是除以n-1，而不是n，无偏差样本方差，可以近似为总本方差σ，进而可得样本均值的方差

这个题目的相当于

然后查一下z table就可以了，Z score近似为1.8，查Z table可得此区间的概率为92.8%。

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