首先，为了说话方便，列出一些术语：
在启发式搜索中，对于每个状态 x，启发函数 f(x) 通常是这样的形式：
| f(x) = g(x) + h(x) |
其中 g(x) 是从初始状态走到 x 所花的代价；h(x) 是从 x 走到目标状态所需要的代价的 估计值。
相对于 h(x)，还有一个概念叫 h*(x)，表示从 x 走到目标状态所需要的实际最小代价（当然，这个值有时我们是事先无法知道的）。
如果在你的启发函数里，能保证 h(x) <= h*(x)，也就是说，你不能高估了从 x 走到目标状态所需要的代价，那就可以说这个搜索是 A* 算法（这里的“*”，英文就读作 star）。
A* 算法的特点是，如果存在从初始状态走到目标状态的最小代价的解，那么用 A* 算法搜索时，第一个找到的解就一定是最小代价的。这就是所谓的可采纳（admissible）。
1. 求前 K 短的 可以带环的 路径（的长度）
1.1. 典型的启发式搜索
设起点为 s；终点为 t；对于一个点 v，dt(v) 表示从 v 走到 t 的最短路径的长度（可以在初始化的时候全都算好）。
网友 richard 教会了我，可以用最典型的启发式搜索来解这个问题。一个状态 x 表示的是从 s 走到某个点的一条路径，把这个点记作 x.v，把这条路径的长度记作 x.len。接着，我们可以使用以下启发函数：
| g(x) = x.len; h(x) = dt(x.v); ∴ f(x) = g(x) + h(x) = x.len + dt(x.v) |
初始状态中， x.v = s； x.len = 0。然后每次让优先队列（所谓的 Open 表）中 f(x) 值最小的状态 x 出队，再跟据图中所有从 x.v 出发的边发展下一层状态，让它们进队列。优先队列中不存在判重复的问题，因为每个状态所代表的路径肯定是不一样的。
不难想通，这是一个 A* 算法，因为这里的 h(x) 本身就是 h*(x)，当然满足 h(x) <= h*(x)。因此可以说，在每次出队列的状态 x 中，第一次遇到 x.v == t 时，就找到了从 s 到 t 的第一短的路径，它的长度就是 f(x)……第 k 次遇到 x.v == t 时，就找到了从 s 到 t 的第 k 短的路径。
1.2. Yen 算法
我从《The K shortest paths problem》这篇文章中学到了另一个算法，名叫 Yen 算法（Yen 是发明者的名字）。它和上面讲的典型的 A* 算法使用相同的启发函数，但是状态的含义以及扩展状态的方式不同。
在 Yen 算法中，状态 x 不仅可以代表从 s 走到 x.v 的一条路径（记作 Psv），更代表了一条从 s 到 t 的完整的路径，也就是 Psv 再连接上 从 x.v 到 t 的最短路径。这一整条路径（记作 Px）的长度就是我们的启发函数 f(x)。
在每个状态 x 中，还需要保存 x.v 在 Psv 中的前一个点，我们记作 x.pre。边 x.pre -> x.v 就称作 Px的偏离边（deviation edge）； Px 上从 x.pre 到 t 的这一段子路径就称为 Px 的偏离路径（deviation path）。为什么叫作偏离路径，看到后面都明白了。
先求出从 s 到 t 的最短路径，它就是初始状态 x1 所要代表的路径。设它的第一条边是 s -> a，则 x1.v = a； x1.len = w(s, a) （w(s, a) 表示边 s -> a 的长度）； x1.pre = s，也就是说，规定 Px1 的偏离边是 s -> a。
把 x1 放进优先队列。接下来，每当进入最大的循环的第 i 轮，从优先队列里出队的状态（启发值最小的，也就是路径长度目前最短的状态，记作 xi）就代表了第 i 短的解。第一轮出队的当然是前面定义的初始状态 x1。下面要从它发展新的状态，作为可能的第 2 短的解，放进优先队列。发展的方法如下：
对于 Px1 的偏离路径上的每一条边（设它为 u -> v），都要找出另一条边 u -> v'，满足在所有从点 u 出发的边当中， w(u, v') + dt(v') 仅仅高于 w(u, v) + dt(v) （或与它相同）；也就是说，从 u 出发，走 u -> v 这条边到终点是最近的，走 u -> v' 这条边是第 2 近的（或者一样近）。从每一条 u -> v'，我们都可以发展出一个新状态 x'： x'.v = v'； x'.len = w(Psu) + w(u, v')； x'.pre = u，也就是说 Px' 的偏离边就是 u -> v'。
图 1
注意，由于本问题中求的路径是可以带环的，所以走到终点以后还可以回头再走。因此，在图 1 中可以看到在点 t 后面也发展了一条偏离路径。这条偏离路径显然不再需要是第 2 短的，而是从 t 出发再回到 t 的最短的路径。
上面讲的是从 x1 发展状态的情况。从之后的 xi 发展状态的时候还有一点要注意：在我们寻找偏离边 u -> v' 的时候，如果 u == xi.pre （也就是当 要找的偏离边 和 xi 的偏离边 是从同一点出发时），则要注意 u -> v' 不仅要和 u -> xi.v 不同，而且要和 xi 的所有祖先状态中从点 u 出发的那条边都不同，不然新发展的状态岂不是和 xi 的祖先状态重复了。
图 2
图 2 给出了一个例子。假设蓝色路径是从黑色路径中发展出的偏离路径；当从蓝色路径发展偏离路径时，要找的是除了蓝色和黑色的边以外，能以最短的距离走到 t 的那条边，假设这里我们找到的是红色的那条边；当从红色路径发展偏离路径时，要找的是除了红色、蓝色和黑色的边以外，能以最短的距离走到 t 的那条边，假设这里我们找到的是绿色的那条边。如此一来，可能有很多偏离路径都是从同一点偏离出来的，但是它们的偏离边都不相同。要在程序中实现这一点，可以在每个状态中记录下所有祖先状态的偏离边。
显然 Yen 算法也是一个 A* 算法，但是它有一个特点，前面已经说过了，就是最大的那个循环最多只要做 K 次，因为每当一个状态出队列时，我们就找到了一个解。因此基本上可以估计出算法的时间复杂度：
- 设图中有 N 个点，那么一条偏离路径上最多只有 N 条边（因为它是一条边 加上 从某一点到终点的最短路径），也就是说，从一个状态最多发展出 N + 1 个新状态（偏离路径上的每条边发展出一个，从点 t 再发展出一个）。
- 寻找一条偏离路径时，需要扫描从一个点出发的所有边，暂且假设从一个点出发的边最多也是 N 条，那么这一步要花 O(N) 的时间。
- 可以想象优先队列（Open 表）里最多有 O(K * N) 个元素，所以每次维护优先队列的时间差不多是 O( lg (K * N) )。
1.3. MPS 算法
同样是在《The K shortest paths problem》这篇文章中，还介绍了作者自已发明的 MPS 算法（MPS 是该文章的三位作者的名字缩写）。它的框架和 Yen 算法相同，但是有一个优化，可以加快寻找偏离边的速度。方法就是把从每个点出发的所有边，都按照从该条边走向 t 的最短距离 升序排序（最好用邻接链表描述图）。
图 3
图 3 给出了一个例子。图中从点 s 出发的边有红、蓝和绿三条，延着它们到达终点 t 的最短距离分别为 3、 2 和 4。因此把从 s 出发的边排序为 (蓝, 红, 绿)。这样一来，寻找偏离边的时间就只有 O(1) 了。因为我们从某一点第一次发展偏离边时，只要选它的邻接链表中的第一条边；下一次再从该点发展时，只要选第二条边……再也不用一一扫描所有边了，也不用担心会和祖先状态的偏离边重复了。
假设图中有 N 个点，从每个点出发的边最多也是 N 条。那么排序一个点的邻接链表需要 O(N * lg N) 的时间，排序整个邻接链表的时间就是 O(N2 * lgN)；搜索的时间由 Yen 算法的 O(K * N2) 降至 O(K * N)。因此，整个算法在最差情况下的时间复杂度大约就是 O(N2 * lgN + K * N)。（从数字上看，好像也没有比 Yen 算法快到哪去
……但是实际试下来确实是快的。）
2. 求前 K 短的 无环 路径（的长度）
2.1. 典型的启发式搜索
网友 richard 在他的这篇文章里介绍了，把 1.1 节中的算法稍加修改，就可以用来求无环的前 K 短路径。修改方法就是在每个状态中保存 Psv 所经过的点；当从一个状态发展新状态时，下一步走的点不能出现在 Psv 中（如果点比较少的话，用位运算就可以很快地对此进行判断。）。这样一来，最终求出的路径就无环了。
图 4
这个算法在大多数情况下确实很好用，但是在 2006 年横滨赛区的最后一题中，就有一组阴险的数据可以让这个算法超时。如图 4 所示，从点 s 出发只有两条边：蓝色的很短，红色的非常长（既使把图中所有边的长度都加起来，也没有它长）；能走向点 t 的只有一条边，它的起点正是蓝色边的终点；图的其它部分有很多点，它们两两之间都有边（图 4 中只是象征性地画了一下，实际上有更多点）。可以想象，只要第一步走了蓝色的边，那么能到达点 t 的无环的路径只有一条，那就是 s -> 蓝色的点 -> t。从第 2 短的解开始，都必须走红色的边。但是启发式搜索一定会先走蓝色的边，然后尝试其后的所有路径。直到实在走投无路径时，才会回过头来走红色的边，因为从长度来看，红色边的优先级实在太低了（虽然它才是正解）。假设图中有 N 个点，可以想象，启发式搜索会先尝试 O(N!) 条错误的路径，那就太可怕了。
我曾经想过下面一些优化的方案，但是好像都行不通：
- 如果在一个我们想要发展的新状态 x 中，从 s 到 x.v 的路径 和 从 x.v 到 t 的最短路径上有重复的点（前者的点集被保存在 x 中；后者的点集可以在初始化所有最短路径时记录下来），则不让它进优先队列（Open 表）？
这样做是不对的。因为虽然从 x.v 到 t 的最短路径不能构成无环的解，但是这并不代表从 x.v 到 t 的稍长一点的路径就不可能构成无环的解。因此，这样的状态还是必须得发展下去，否则就可能错过了一些解。
- 在优先队列（Open 表）里只保存前 K 个最优的状态，比较差的状态就不进队列了？
这样做更加是不对的。因为图 4 这个例子就已经明确地说明了，启发值比较优先的状态并不一定能通向正解，而启发值较差的状态说不定就能通向正解。
2.2. Yen 算法
Yen 算法的无环版本我在这篇文章里已经写过了。其思想和它的可以带环的版本相同，只是在找偏离路径的时候，不能再用初始化求好的现成的最短路径了，因为它们可能无法构成无环的解；而是要当场求一条最短路径，在求的过程中屏蔽掉前半条路径经过的点，以保证整条路径无环。
由于 Yen 算法的无环版本在找偏离路径时，不再是扫描从一个点出发的所有边，而是运行一次最短路径算法。所以它的最差时间复杂度 由可以带环版本的 O( K * ( N2 + lg(K * N) ) ) 升至 O( K * ( N3 + lg(K * N) ) )。
2.3. MPS 算法
作者还是 M、 P 和 S 这三个人，在《The K shortest loopless paths problem》这篇文章中介绍了 MPS 算法的无环版本。它和 MPS 算法的可以带环版本基本相同，只是在最大的循环中，每当一个状态出队列时，判断它是否无环，如果无环才算找到一个解。当然，不管出队的状态有没有环，都需要从它发展新状态，原因在 2.1 节中已经说过了。
这个算法在一般情况下（比如随机生成的图）会比 Yen 算法的无环版本快很多，毕竟它在寻找偏离路径上有很大的时间优势。但是它的致命伤和典型的启发式搜索一样，就是像图 4 那样的情况。因为它在决定偏离路径时，还是以启发为主，并不能确定找到的是正解，我就不多说了。
就写到这里吧。最后总结一下，上面介绍的求前 K 短路径的各种算法，不管是有环的版本还是无环的版本，都是 A* 算法。正因为这样，它们才能保证能依次求出前 K 短的解。最后面好像写得有点潦草，但是我觉得足以说明问题了。跟本文有关的题目，我知道的还有 UVA 10740 和 PKU 2449。