【数据结构与算法】左偏树（堆）的实现

        左偏树，也可以称之为左式堆。称其为树，是因为其存储结构通常采用二叉树，所以可以认为是一种特殊的二叉树。称其为堆，是因为在逻辑结构上，它属于可合并堆的一种。其实数据结构中最欣欣向荣的两个分支就是：平衡树 和可合并堆。高级树结构的核心都是围绕如何使树到达平衡而展开，高级堆结构的核心就是如何有效地进行合并。

        这里先介绍可合并堆中一种十分好用的数据结构：左式堆。人们熟悉或者常听说的堆主要有：（二叉）堆、左式堆、斜堆、二项堆、斐波纳契堆。其中二叉堆是最为常用的，一般的优先队列都可以考虑用二叉堆实现，而STL中优先队列，更是方便了大家的使用，如果自己编程主要注意sift down 和 sift up 这两个核心操作的实现。

	二叉堆	左式堆	斜堆	二项堆	斐波纳契堆
Insert	O(log n)	O(log n)	O(log n)	O(log n)	O(1)
Extract-Min	O(log n)	O(log n)	O(log n)	O(log n)	O(log n)
merge	O(m + n)	O(log n)	O(log n)	O(log n)	O(1)
编程复杂度	简单	较简单	较简单	较复杂	复杂

        左式堆由于使用二叉链表的存储结构，对动态操作支持良好，在需要合并操作的场合，是极佳的选择。二项堆（使用孩子兄弟存储模式）和斐波纳契堆（使用树型结构配合双向循环链表模式）由于编程的复杂性和比较大的常数因子，所以使用的很少。

下面进入主题leftist tree:

首先看左偏树的性质：

1.【堆性质】：任意节点的关键字大于等于其孩子节点的关键字

2.【左偏性质】：定义到最近的孩子的距离为节点距离dist，那么任意节点的左孩子的距离大于右孩子的距离。

                                A->lchild->dist >= A->rchild->dist

堆性质是为了让最小的结点始终在根的位置，这是所有堆都有的性质。

而左偏性质，则是为了让树状存储的堆，树的 深度不能过大，且 利于合并。

        那么这个性质是怎么完成这两个功能的呢？左偏性质使树的左侧的深度始终大于等于右侧的深度，这一点从名字上就能体会到，也可以画几棵左偏的树试试。而左偏树在实现插入操作时总是从右侧插入，也就是总是让短的一侧生长，如果右侧长于了左侧，那么把左右侧交换一下，继续从短的一侧生长。其实如果不考虑具体的细节，那么这样的直观理解可以看到左偏树的一些本质内涵，一颗树有两个分支，每次要生长的时候，总是让短的一侧先生长，那么这棵树，最后是不是就能够比较对称呢？自然常识和严密的技术逻辑有时候是一致的。

下面给出左偏树的具体实现（做过简单测试，但不保证没有BUG。如果发现BUG请告知，我会及时修改，谢谢）：

/*基本的存储结构*/
struct LTNode
{
	int data;
	int dist;
	struct LTNode *lchild;
	struct LTNode *rchild;
};


/*交换操作，为了方便后面的实现*/
template<typename T>
inline void swap(T &a,T &b)
{
	T tmp = a;
	a = b;
	b = tmp;
}

/*简单的中序遍历操作，方便调试用的*/
void InOrder(LTNode *t)
{
	if(t)
	{
		InOrder(t->lchild);
		printf("%d\n",t->data);
		InOrder(t->rchild);
	}
}

/*核心操作，一定要小心实现*/
LTNode* merge(LTNode* &A,LTNode* &B)
{
	if(A==NULL || B==NULL)
		return A==NULL?B:A;

	if(A->data > B->data)    /*确保B->data >= A->data*/
	{	swap<LTNode*>(A,B);	}

	A->rchild = merge(A->rchild,B); /*新来个左偏树始终合并到右侧*/

	/*由于新结点合并到右侧，右侧结点现在一定存在了,但左侧不一定*/
	if(A->lchild==NULL ||          /*左侧为空，一定小于右侧*/
	   A->rchild->dist > A->lchild->dist)/*右侧大于了左侧*/
		swap<LTNode*>(A->lchild,A->rchild);

	if(A->rchild==NULL){A->dist = 0;}     /*右子树为空*/
	else               {A->dist = A->rchild->dist + 1;}

	return A;
}

void insert(LTNode *&t,int x)
{
	/*initiate the node*/
	LTNode *p = new LTNode;
	p->data = x;
	p->dist = 0;
	p->lchild = NULL;
	p->rchild = NULL;

	/*merge into a leftist tree*/
	t = merge(t,p);
	printf("insert %d success\n",x);
}

LTNode* ExtractMin(LTNode* &t)
{  
	/*根元素始终都是最小的元素*/
	LTNode *p = t;
	/*合并根的左右子树*/
	t = merge(t->lchild,t->rchild);
	/*返回指向最小节点的指针*/
	return p;
}

其实比较复杂和需要一些理解的也就只有merge操作，其实并不比二叉树实现的二叉堆复杂多少是吗？