卡特兰数 的几个应用

卡特兰数 的几个应用

 

问题

《编程之美》中提到了“买票找零”问题，查阅了下资料，此问题和卡特兰数 Cn有关，其定义如下：

卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：

一.Cn= 长度为 2n的 Dyck words的数量。 Dyck words是由 n个 X和 n个 Y组成的字符串，并且从左往右数， Y的数量不超过 X，例如长度为 6的 Dyck words为：

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

二.Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

三.Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：

 
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

\四.Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

五.Cn=n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：

六.Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：

七.Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

在《Enumerative Combinatorics》一书中，竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。