关于KM算法的详细解释

【背景（神犇不要鄙视）】
本沙茶今年AHOI的时候，遇到裸的最佳匹配的题，竟然把KM算法搞忘了，幸亏是WJMZBMR神犇保佑，临时乱弄一通，想起来了……这MS反映出了本沙茶以前在看某些经典算法的时候看得不深，木有理解透彻……
前几天又遇到一道最佳匹配的题，发现KM算法竟然又忘了……米办法，只有把这个搞死人的算法的具体过程重新看了一遍，终于懂了……
【KM算法及其具体过程】
（1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W)，称为可行边；
（2）KM算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边；
（3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改；
（4）增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是；
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的(lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。
（5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；

下面分析整个算法的时间复杂度：每次修改后，图中至少会增加一条可行边，故最多增广M次、修改M次就可以找到仅由可行边组成的完全匹配（除非图中不存在完全匹配，这个可以通过预处理得到），故整个算法的时间复杂度为O(M * (N + 一次修改点标的时间))。而一次修改点标的时间取决于计算d值的时间，如果暴力枚举计算，这一步的时间为O(M)，优化：可以对每个Y方点设立一个slk值，表示在DFS增广过程中，所有搜到的与该Y方点关联的边的(lx+ly-W)的最小值（这样的边的X方点必然在增广轨中）。每次DFS增广前，将所有Y方点的slk值设为+∞，若增广失败，则取所有不在增广轨中的Y方点的slk值的最小值为d值。这样一次修改点标的时间降为O(N)，总时间复杂度降为O(NM)。

需要注意的一点是，在增广过程中需要记下每个X、Y方点是否被遍历到，即fx[i]、fy[j]。因此，在每次增广前（不是对每个X方点增广前）就要将所有fx和fy值清空。

代码：

void  init_d()
{
    re(i, n) E[i].pre  =  E[i].next  =  i; m  =  n;
}
void  add_edge( int  a,  int  b,  int  len)
{
    E[m].a  =  a; E[m].b  =  b; E[m].len  =  len; E[m].pre  =  E[a].pre; E[m].next  =  a; E[a].pre  =  m; E[E[m].pre].next  =  m ++ ;
}
inline  int  dist( int  x,  int  y,  int  x0,  int  y0)
{
     return  abs(x  -  x0)  +  abs(y  -  y0);
}
bool  dfs( int  x)
{
     int  y, x0; fx[x]  =  _FLAG;
     for  ( int  p = E[x].next; p  !=  x; p = E[p].next) {
        y  =  E[p].b;
         if  (lx[x]  +  ly[y]  >  E[p].len) {
             if  (lx[x]  +  ly[y]  -  E[p].len  <  slk[y]) slk[y]  =  lx[x]  +  ly[y]  -  E[p].len;
        }  else   if  (fy[y]  !=  _FLAG) {
            fy[y]  =  _FLAG; x0  =  z[y];
             if  (x0  ==   - 1   ||  dfs(x0)) {z[y]  =  x;  return   1 ;}
        }
    }
     return   0 ;
}
void  solve()
{
    re(i, n) {
        lx[i]  =   - INF;
         for  ( int  p = E[i].next; p  !=  i; p = E[p].next)  if  (E[p].len  >  lx[i]) lx[i]  =  E[p].len;
    }
    re(i, n0) {ly[i]  =   0 ; z[i]  =   - 1 ;}
     int  d;
    re(i, n) {
        re(j, n0) slk[i]  =  INF; _FLAG ++ ;
         while  ( ! dfs(i)) {
            d  =  INF; re(j, n0)  if  (fy[j]  !=  _FLAG  &&  slk[j]  <  d) d  =  slk[j];
            re(j, n)  if  (fx[j]  ==  _FLAG) lx[j]  -=  d;
            re(j, n0) {slk[j]  =  INF;  if  (fy[j]  ==  _FLAG) ly[j]  +=  d;}
            _FLAG ++ ;
        }
    }
    res  =   0 ; re(i, n) res  +=  lx[i]; re(i, n0) res  +=  ly[i];
}