【复仇之战】AHOI2013 Round2 总结

前言：
从2006年的全国第一，到2012年的全国第二十；
从国家队每年必有，到正式选手NOI Ag都拿不到；
时间可以改变一切，仅仅几年，我们共同见证了一个省从强省变成弱省；
而无比奇(keng)特(die)的省选题，又使得许多难以想象的事情发生了；
不知现在，还有谁记得一年前的那场风波，两年前的那场风波，三年前的那场风波；
不知现在，还有谁记得那些被奇(keng)特(die)的省选题和谐掉的众神；
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今年，安徽省选终于不再是一场闹剧。
希望这能成为一个转折点。下面进入正题。
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本沙茶还是考废了……6题有3题被卡常数，而且卡到和暴力差不多的得分……
不过毕竟复仇成功了……好像还进了A队……
不过像我这么弱到NOI也是被虐的份……

下面上题解：
【Day1】
coin：
首先那个贪心性质是比较好看出来的囧……就是如果每个面值都是上一个面值的正整数倍，则要得到一个价格的最小张数，总是先用最大的，不够了再用第二大的……以此类推。
（证明：假设价格为s，某个方案(a1, a2...am)(ai为第i大的面值使用张数)对于最大的面值不是按照这样的，则有s-a1*v1>=v1；若a2*v2>=v1，则将(v1/v2)张第二大的换成一张第一大的显然更优，若a2*v2<v1，则可得s-a1*v1-a2*v2>=v1-a2*v2>=v2，可以对第三大的继续分类讨论，这样一直到第m大的，必然会有一个出现可换成更大面值的情况，也就是该方案必然不是最优方案；如果最大的面值按照这样，后面的面值不按照这样，仍然如此）
这样只要所有面值确定，配成任何一种价格的最优方案也就确定了，且可以随着面值从大到小的一一确定，不断更新最优方案；
由于本题价格<=100000，所以考虑搜索。一开始搜最大的面值，然后在搜后面的面值的时候，只能枚举其因数。优化：
（1）初始定界：根据样例2+简单分析可以得出，使用2的幂的面值是一种比较优的方案，因此用它进行初始定界，可以大大方便后面的卡界；
（2）容易证明，如果所有价格中最大的为maxw，则最大的面值必然在[maxw/2, maxw]之间；
（3）很重要的剪枝：容易证明在最优方案中，相邻两个面值的比值必然是质数（否则设vi/v(i+1)不是质数，存在>1的因数d，则加入vi/d这个面值以后……）。因此，只需要预处理出2~100000间所有数的质因数即可；
（4）一些启发式优化（卡界）；
（5）卡时；
综合使用以上方法可以得到85~100分；注意搜索中的数组分层问题；

cube:
被卡常数了，真悲剧……
本题的猥琐之处在于它的时空限制，时限1s，空限64M……给跪了！！！
只要求出(0, 0, 0)-(200, 200, 200)间的每个格子是否被覆盖，然后再做一次floodfill就行了囧……
实现方法有很多，最好的是三维树状数组（改段求点，一个数组即可，且可以用short）。
问题是，本题的floodfill如何实现？递归DFS，爆栈；人工栈DFS，MLE；BFS，在压位的情况下可以勉强卡过空间，但常数被卡了……
（求神犇好的解决办法囧……）

square：
首先两个不相交子矩形要么在X方向上不相交，要么在Y方向上不相交，要么在X、Y方向上都不相交……（废话）
因此结果等于(X方向上不相交的全黑子矩形个数)+(Y方向上不相交的全黑子矩形个数)-(X、Y方向上都不相交的全黑子矩形个数)；
前两个显然灰常好求，第三个，只要求出每个点左上、右上、左下、右下四个方向里面的全黑子矩形个数，也灰常好求……
不过有一个细节：如何求出以某行/列为最下行/最右列的全黑子矩形个数？
一种方法是往左/右（或上/下）第一个比它矮的地方不断迭代，但这样遇到阶梯状的会被卡掉；
正确方法是找到往左/右（或上/下）第一个比它矮的地方，然后以这里为右下角的全黑子矩形个数=以那个地方为右下角的全黑子矩形个数+这里的高度*两个位置的距离；
然后就是严格的O(N ²)了（不过数据很弱，本沙茶使用会被阶梯状的卡掉的办法也AC了囧）；

至此Day1完挂。

【Day2】
（全DS题什么心态？？？？？？）
homework：
第一问……是人都会吧囧……
第二问……傻眼了囧……
其实看到第二问这种不能合并的东东就应该想到分块……这里说一种时间复杂度为O(N ^5/3)的分块方法
注意本题的两问都满足区间减性质，即“A[l1..r1]中关于[l2..r2]范围内的数的结果=A[l1..r1]中关于[0..r2]范围内的数的结果- A[l1..r1]中关于[0..l2-1]范围内的数的结果”。
因此，可以先对[l2..r2]这一维离线，然后按照值递增的顺序逐个加入A数组中的所有元素（一开始A数组为空），每加入一个数，就对l2或r2等于这个数的所有询问计算结果，这样原题就转化为了这个问题：
一个长为N的序列，一开始所有位置都为空，现在有两个操作：（1）在某个空位置插入一个数；（2）询问目前某区间内的数的总数，以及不相同的数的总数；
这两个问题都可以分块解决：设S1[i][j]和S2[i][j]分别表示目前第i块到第j块中数的总数以及不相同的数的总数，同时维护bool FF[i][j][k]表示第i块到第j块是否出现数k。插入一个数时直接维护S1，根据FF维护S2即可。显然块大小sz应取N ^2/3，总的时间、空间复杂度均为O(N ^5/3)。
这样……本题时限10s应该能过了吧囧……但是常数……万恶的常数啊！！！！！（事实上后5个点在本机上都是8.5s左右的，只有第4、5个点T，但在那里不知为什么几乎全T了……）

disconnected：
这个……本沙茶真心不会搞囧……
@drcrow神犇说有一种按询问分块的办法，其思想具体见他今年CTSC的论文……但本沙茶智硬理解不了……
求各位神犇解释……

diff：
（很水的题，很坑爹的常数……本题真是推广SAM的利器……）
本题的核心在于算任意两个后缀的LCP之和，其它的很容易推导出来……
后缀的LCP，“正常人”的第一反应是SA……
求出SA及height后，转化为线段树问题……然后就直接搞定了……
但是……………………………………………………………………………………………………
本题N<=500000，时限2s！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
如果求SA，不管是倍增还是DC3都会T（把SA求出来就T了）
因此，正解其实是SAM，把这个串的SAM求出来之后，直接用DFS求次序，再求height……这里的时间复杂度就是线性的了。
（WJMZBMR：现在SA早就过时了，要用SAM！！！不，其实SAM也过时了，现在是Suffix BST以及2 ^K Substring BST，但考虑到AH太弱了，同情一下，降低一点难度……）

至此AHOI Round2完挂。
（不过许多人都放水了囧……他们说我去年滚粗，太可怜了，要照顾我……于是我这样的弱智就A队了……）
（HSAAHNU进了6个……太可怕了，坐等NOI组团虐场……）