Splay Tree 重复次数mul以及一些进阶操作

额……最近两天光顾着刷题忘了总结了……正好现在把总结的东东全部补上吧囧……

【重复次数mul】
在前面第一篇总结Splay Tree的时候就提到了结点的重复次数(mul)域，这个东东至今在网上还米看见有犇用（在本沙茶见过的范围内），但是不可否认的是这个域在某些情况下几乎是“必须使用”的。
所谓重复次数，就是将树中所有值(v)相同的结点全部合并成一个，这些结点的总个数就是合并后的结点的mul值。比如，在一棵空树中插入3个值为5的结点后，在使用mul域的情况下，树中只有一个结点，其v值为5，mul值为3。
在平衡树中，值相同的结点确实非常碍事。按照二叉查找树的定义：“要么是一棵空树，要么是一棵满足以下条件的非空树：根结点左子树中所有结点的值均小于根结点，根结点右子树中所有结点的值均大于根结点，且根的左右子树均为二叉查找树”，在二叉查找树中，是不应该出现值相同的结点的。可是在实际问题中，出现值相同的结点几乎是不可避免的。此时，树的定义就会变得非常模糊，也就是要把二叉查找树定义中的“小于”全部改为“小于等于”，“大于”全部改为“大于等于”。这样定义的树在一般情况下也米有神马问题，但是在找前趋(Pred)和找后继(Succ)操作中，问题就来了。因为根结点的前趋和后继的值可能与根结点相等（比如 HNOI2004 宠物收养所 那一题），这时，根结点的前趋既有可能在左子树里，也有可能在右子树里，根结点的后继也一样。此时，这两个操作就无法进行了。
【mul域的维护】
mul域其实可以看成结点的一个本身属性，和v一样。因此在旋转、伸展操作中任何结点的mul值都是不会改变的。可能改变结点mul值的地方只有两处：一是插入，二是删除。在插入一个值为_v的结点的时候，如果发现值为_v的结点在树中已经存在，则只会将这个结点的mul值加1，而不是真正插入一个新的结点。同样的，在删除一个结点的时候，如果这个结点的mul值大于1，则只会将这个结点的mul值减1，而不是真正删除。
【mul域的作用】
mul域最主要的作用就是解决值相同的结点对于某些操作的影响。另外，mul域的引入可以减少树中结点的总个数（尤其是当插入的结点数很多而结点的值的范围不大的时候），从而降低时间复杂度（准确来说可以降低常数）。
【Splay Tree的进阶操作】
<1>找非根结点的前趋和后继。
Splay Tree由于有伸展操作，可以将要求前趋或后继的点伸展到根再求前趋或后继。如果要不通过伸展操作找一个非根结点的前趋或后继怎么办？
设这个结点为x。如果x有左子结点，则x的前趋就是x的左子结点的右链上的最后一个结点；如果x没有左子结点，则x的前趋就是从x开始往上（往x的祖先）查找，直到找到第一个是其父结点的右子结点的结点为止，则这个结点的父结点就是x的前趋（或者说，就是不断沿着x的父结点往上找，一开始都是往右的，找到第一个往左的就行了）。后继则正好相反。证明可以用中序遍历。
<2>找某个值v0的前趋和后继（值为v0的结点在树中不一定存在）。
所谓v0的前趋和后继，就是指在树中值小于（也有的是不大于）v0的最大的结点的值，和树中值大于（也有的是不小于）v0的最小的结点的值。在有了操作（1）【不通过伸展操作找非根结点的前趋和后继】以后，这个操作变得极为容易：先进行普通的查找操作（查找值为v0的结点），如果能找到，则剩下的步骤就和操作（1）一样了；如果找不到，则必然是找到某个空结点（0）处，假设在这里插入一个值为v0的结点（只是假设，不是真插入），则该结点显然是没有左子结点的，因此就是“从该结点开始往上查找，直到找到第一个是其父结点的右子结点的结点为止，则这个结点的父结点就是该结点的前趋”，也就是v0的前趋；后继类似。
在查找过程中可以进行一个常数优化：设点i为查找过程中“右转”的最后一个结点（即找到该结点后，接下来是该结点的右子结点），每次往右子结点转的时候就更新i，则最后结点i就是值v0的前趋；后继类似。
<3>删除所有值在某区间内的结点（这个区间可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）。
以开区间为例：删除树中所有值在(l, r)范围内的结点。先找到l的前趋P和r的后继S（注意这里的前趋和后继是包括“等于”的），然后将P伸展到根，S伸展到P的右子结点处，则S的左子树中就是所有值在(l, r)范围内的结点，直接删掉这棵子树即可（注意删除后要更新S和P）；若改为闭区间，则将前趋和后继中的“等于”去掉（即必须是小于或大于）；半开半闭区间则一半按开区间处理，一半按闭区间处理。问题是，如果点P或点S不存在怎么办。有两种解决办法，一是若P和S之一存在，则将其伸展到根，然后直接删掉其左子树或右子树即可；若P和S都不存在，则树为空，直接将root置为0即可；二是按照sequence的办法，加入两个边界结点，当前趋或后继不存在时就认为是边界结点。
其实不光是删除，在找到了这棵子树后可以对它进行一些整体操作，从而让Splay Tree具有线段树的功能（这个在下面的NOI2005 sequence那一题里面会总结）。
<4>插入一棵树（当然这棵树也是Splay Tree，并且原树中的结点值序列与新树中的结点值序列不相交）。
有时候，题目中会连续出现很多插入操作，中间没有其它操作，此时，与其一个一个插入，还不如将它们先建成一棵树（建树的方法在下一篇里总结），再整体插入。整体插入的方法：设L和R分别是新树里值最小的结点和值最大的结点，在原树中找到L的前趋P和R的后继S，将P伸展到根，S伸展到P的右子结点处，由于原树中的结点值序列与新树中的结点值序列不相交（也就是原树中的结点值要么小于L的值，要么大于R的值），因此S无左子结点，此时将新树作为S的左子树即可。