PKU 2941

PKU 2941

PKU 2941
这道题需要动一下脑筋，属于数学题。
问题描述：给一个n×n的矩阵，如果从每行各拿出一个元素，且这些元素的列指标都不同，即



其中是的一个排列。
如果任何这样一个元素的和都相等，则称这个矩阵是homogeneous的。

题目要求任给一个n维矩阵,1<=n<=1000，判断它是否是homogeneous的。

如果直接做，即求出所有的然后求和，这样的复杂度为n!，这是无法接受的。

下面给出一个算法，能在时间内判断出来。设n维矩阵A，现为A加上一行跟一列，使A变成n+1维的。



Theorem 1 

若n维矩阵A是homogeneous的，则划去A的任一行与任一列，剩下的n-1维矩阵是homogeneous的。

Proof
设划去的是第x行第y列，剩下的矩阵若不是homogeneous的，则存在与，这两个序列的和不等，那么都加上，可以得到矩阵A的两个序列，这两个序列的和不等，即A不是homogeneous的，与假设矛盾。

Theorem 2
若Homogeneous的A增广后的矩阵B是Homogeneous的，则对于A中任意元素 ，必有

Proof
这个等式的意义是在A取元素，在新矩阵取，其余任取，这么一个序列的和必须等于在新矩阵中取跟，其余任取所得的序列的和。注意到任取那部分是在A划去行i，列j后的子矩阵中取的。由于B是Homogeneous，任何合法序列的和都相等，若题设的等式不成立，则任取这一部分也不相等（这样才可能使得所有B包含的序列的和都相等）。但A是Homogeneous的，任取这一部分不可能不等，矛盾。

有了上面的定理2，算法就很简单，看下面的代码：

 1  #include  < iostream >
 2 
 3  using namespace std;
 4 
 5  int  a[ 1001 ][ 1001 ];
 6 
 7  int  main()
 8  {
 9       int  i,j,k,n;
10       while (scanf( " %d " , & n)  &&  n != 0 ){
11           for (i = 0 ;i < n;i ++ )  for (j = 0 ;j < n;j ++ ) scanf( " %d " , & a[i][j]);
12           int  flag = 0 ;
13           for (i = 1 ;i < n  &&   ! flag;i ++ ){
14               for (j = 0 ;j < i  &&   ! flag;j ++ ){
15                   for (k = 0 ;k < i  &&   ! flag;k ++ ){
16                       if (a[i][i] + a[j][k]  !=  a[i][k] + a[j][i]) flag = 1 ;
17                  }
18              }
19          }
20           if (flag == 1 ) printf( " not homogeneous\n " );
21           else  printf( " homogeneous\n " );
22      }
23       return   1 ;
24  }