Mandelbrot Set

Mandelbrot Set

Mandelbrot集合是在复平面组成分形的点的集合，用复二次多项式 来定义

其中c是一个复参数。对于每一个c，从开始对f_c(z)进行迭代。 
序列  的元素的模（复数具有模的概念）或者延伸到无穷大，或者只停留在有限半径的圆盘内。Mandelbrot集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。

 

简单来说，对于迭代式：f_c(z) = z² + c ，Mandelbrot Set 迭代过程中的z值是固定的，是使上述迭代式始终在某一范围内而不发散于无穷大的c值的集

合；而Julia Set的迭代过程中c是固定的，上述是使上述迭代式始终在某一范围内而不发散于无穷大的z值的集合。

从数学上来讲，Mandelbrot集合是一个复数的集合。一个给定的复数c或者属于Mandelbrot集合M，或者不属于。比如，取c = 1，那么这个序列就是(0, 1, 2, 5, 26, ...)，显然它的值会趋于无穷大；而如果取c = i，那么序列就是(0, i, -1+i, -i, -1+i, -i,...)，它的值会一直停留在有限半径的圆盘内。

事实上，一个点属于Mandelbrot集合当且仅当它对应的序列（由上面的二项式定义）中的任何元素的模都不大于2。这里的2就是上面提到的“有限半径”。

在计算机上绘制Mandelbrot集合

计算机的屏幕上的像素只有有限个，而Mandelbrot集合中的点则有无限个。

观察上面复平面的局部，Mandelbrot集合即黑色区域，实部从-2到1，虚部从-1到1，那么将两个点(-2, 1)和(1, -1)作为一个矩形的左上角顶点和右下角顶点，那么这个矩形就包含了整个Mandelbrot集合，该矩形的长为3，宽为2。我们可以将这个矩形与屏幕上的区域进行映射，也就是将屏幕上的一个像素映射为该矩形内的一点，如果该点属于Mandelbrot集合，就将该像素着为黑色，这样逐一对每个像素进行判断和着色，就可以模拟绘制Mandelbrot集合了。该矩形的长宽比为3：2，我们在屏幕上可以取600 * 400的矩形区域。

完成映射后来考虑如何判断一个点是否属于该集合。其根据就是上面的结论“一个点属于Mandelbrot集合当且仅当它对应的序列（由上面的二项式定义）中的任何元素的模都不大于2”，由于序列的的元素有无穷多个，我们只能取有限的迭代次数来模拟了，比如取100或1000次。

 一个基本的Mandelbrot set的绘制<基于OpenGL>,没有设置复杂的颜色



一个给点着色的Mandelbrot set的绘制<基于OpenGL>



一个给点着色的Mandelbrot set的绘制 三次 <基于OpenGL>