3D数学 ---- 矩阵的更多知识（1）

矩阵的行列式

在任意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式。

线性运算法则

方阵M的行列式记作|M|或“det M”，非方阵矩阵的行列式是未定义的。n x n阶矩阵的行列式定义非常复杂，让我们先从2 x 2，3 x 3矩阵开始。

公式9.1给出了2 x 2阶矩阵行列式的定义：

注意，在书写行列式时，两边用竖线将数字块围起来，省略方括号。

下面的示意图能帮助记忆公式9.1，将主对角线和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线元素的积减去反对角线元素的积。

3 x 3 阶矩阵的行列式定义如公式9.2所示：

可以用类似的示意图来帮助记忆。把矩阵M连写两遍，将主对角线上的元素和反对角线上的元素各自相乘，然后用各主对角线上元素积的和减去各反对角线上元素积的和。

如果将3 x 3阶矩阵的行解释为3个向量，那么矩阵的行列式等于这些向量的所谓“三元组积”。

假设矩阵M有r行c列，记法M{ij}表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。显然，该矩阵有r-1行，c-1列，矩阵M{ij}称作M的余子式。

对方阵M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式，见公式9.3：

如上，用记法cij表示M的第i行，第j列元素的代数余子式。注意余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量。代数余子式计算式中的项(–1)(i+j)有以棋盘形式使矩阵的代数余子式每隔一个为负的效果：

n维方阵的行列式存在着多个相等的定义，我们可以用代数余子式来定义矩阵的行列式（这种定义是递归的，因为代数余子式本身的定义就用到了矩阵的行列式）。

首先，从矩阵中任意选择一行或一列，对该行或列中的每个元素，都乘以对应的代数余子式。这些乘积的和就是矩阵的行列式。例如，任意选择一行，如行i，行列式的计算过程如公式9.4所示：

下面举一个例子，重写3x3矩阵的行列式：

综上，可导出4x4矩阵的行列式：

高阶行列式计算的复杂性是呈指数递增的。幸运的是，有一种称作”主元选择“的计算方法，它不影响行列式的值，但它能使特定的行或列中除了一个元素（主元）外其他元素全为0，这样仅一个代数余子式需要计算。

行列式的一些重要性质：

（1）矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积：|AB| = |A||B|
这可以扩展到多个矩阵： |M1 M2 ... Mn| = |M1| |M2| ... |Mn-1| |Mn|

（2）矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式：|MT| = |M|

（3）如果矩阵的任意行或列全为0，那么它的行列式等于0.

（4）交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负。

（5）任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的积。

几何解释

矩阵的行列式有着非常有趣的几何解释。2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积（如图9.1所示）。有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位”翻转“，那么面积变负。

3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号的体积。3D中，如果变换使得平行六面体”有里向外“翻转，则行列式变负。

行列式与矩阵变换导致的尺寸改变相关，其中行列式的绝对值与面积（2D）、体积（3D）的改变相关，行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜像或投影。

矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类。如果矩阵的行列式为0，那么该矩阵包含投影。如果矩阵的行列式为负，那么该矩阵包含镜像。