分形理论的基础概念

最近打算利用一段时间好好学习一下分形理论，也写一系列博客记录下自己的学习归纳情况

一、分形理论的历史过程

二、分形理论的基础概念

三、分形理论的分维解析

四、分形理论的Hausdorff维数

五、分形理论的盒维数

六、分形理论在计算机图形中的应用（待定）

Blogger：LinJM 微博（LinJM-机器视觉）

一、自相似性

一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域结构与整体类似。另外，在整体和整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现方式，而不是局域放大到一定倍数以后简单地和整体完全重合。但是，表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数，并不会因为放大或缩小等操作而变化（这一点被称为伸缩对称性），所改变的只是其外部的表现形式。

二、标度不变性

所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出原图的形态特性。因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化，所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形都是一样的，从观察到的图像，无法判断所用放大镜的倍数。

三、分形的定义

定义1 （Mandelbrot 于1982年）：如果一个集合在欧式空间中的Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，则称该集合为分形集，简称为分形。

定义2 （1986）：组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。

需要指出的是，虽然有上述两个定义，但迄今为止对分形尚未有严格的定义，对分形给予严格的定义还为时过早。

四、分形分类

分形依据其自相似来分类，有如下三种：
　　精确自相似：这是最强的一种自相似，分形在任一尺度下都显得一样。由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来。
　　半自相似：这是一种较松的自相似，分形在不同尺度下会显得大略（但非精确）相同。半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸。由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似，但不会是精确自相似。
　　统计自相似：这是最弱的一种自相似，这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度。大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似（分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度）。随机分形是统计自相似，但非精确及半自相似的分形的一个例子。

五、分形几何学

分形几何学的主要内容可以分为两部分: 线性分形与非线性分形。线性分形理论的基本观点是维数的变化是连续的，研究对象具有自相似性和非规则性。线性分形又称为自相似分形，它研究的所有方向上以同一比率收缩或扩展一个几何图形的线性变换群下的图形的性质，在一定范围内，由一个分形维数就可以加以描述。线性分形又可分为有规分形和无规分形两类。非线性分形研究在非均匀线性变换群或非线性变换群下的图形的性质, 它可以分为三类: 自仿射分形( 非均匀线性变换群) 、 ( 自反演分形非线性变换群) 和自平方分形。另外，按数学性质，分形尚可以分为线分形、 面分形与体分形。

六、布朗运动

布朗运动也称为维纳过程，它是由布朗在研究悬浮在液体中的微粒的不规则运动而提出的。以后，维纳把它作为一种随机过程加以严格刻画。

七、fBm模型

fBm是一种分数布朗运动模型，它非常适合于描述自然纹理的随机分形模型。
定义如下：

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本系列文章的参考资料

[1] 张济忠. 分形[M]. 清华大学出版社有限公司, 1995.

[2] Mandelbrot B, 文志英, 苏虹. 分形对象: 形, 机遇和维数[M]. 世界图书出版公司, 1999.

[3] 法尔科内, 曾文曲. 分形几何: 数学基础及其应用[M]. 人民邮电出版社, 2007.

[4] 李重概. 分形分析 Hurst 指数在中国股票市场的应用[D]. 厦门大学, 2002.

[5] 相关网络资料