快速卷积

快速卷积（FastConvolution）原文地址：Fast Convolution。吐血的翻译水平。

2015.08.03

快速卷积

1.5版：2004年07月21日下午12点格林尼治时间

Douglas L. Jones

这项工作是由连结项目（The Connexions Project）提供，并由知识共享署名许可（Creative Commons Attribution）授权。

摘要

用快速傅立叶变换（FFT）实现卷积的快速计算。

快速卷积

1 快速循环卷积

由

相当于

得可以表示为 。

复杂度

卷积法的复杂度

• N²次复数相乘。
• N(N – 1)次复数相加。

快速傅立叶变换的复杂度

• 3 FFTs + N次乘法（3个傅立叶变换加上N次乘法）。
• 次复数相乘。
  
• 次复数相加。
  

如果能被提前计算，通过FFT实现卷积计算的复杂度将只会有2 FFts + N次乘法。

2 快速线性卷积

DFT¹能实现循环卷积。要实现线性卷积，必须用填补0序列的方式使得卷积后循环迂回部分为0。

要想通过快速循环卷积得到线性卷积，必须用0补齐DFTs的长度到

Figure 1

Figure 2

Figure 3

选择一个N（通常是2的指数且刚好大于L+ M – 1）通过离散傅立叶变换来实现快速卷积

注意：与循环卷积相比，在DFTs²中添加了更多的0。尽管如此，与直接计算法相比，复杂度仍旧会节约 。

2015.08.04

3 运行卷积

对于一个时域的滤波器程序，如果或者 ，就有高效的方法来快速计算卷积。

3.1 重叠保留（OLS）方法

一个长度为M的滤波器 和一个信号 的长度为N的部分作循环卷积时，计算结果的前M – 1部分数据为参与计算部分后M – 1部分数据，因此计算结果是不正确的。然而，对于结果的 部分，所发生的卷积为线性卷积，这部分计算是正确的。因此，对于长度为N的循环卷积中，只有N – M + 1部分的计算结果是正确的。

重叠保留法（The Over-Save Method）：将一个长信号序列分成N块连续的信号序列，每块信号序列的前M – 1部分跟前一块信号序列的后M – 1重叠（第一块信号序列前可补M – 1个0）。然后再用滤波器 来做循环卷积，将每次循环卷积的结果的前M – 1部分去掉，并依次将每次卷积结果连接在一块就能得到正确的 。

计算长度为N的信号序列所耗复杂度相当于计算2ⁿFFT（假设提前计算了H(k)）+2FFTs以及N次乘法

次复数乘法

次复数加法

对于M元，直接卷积时的每次输出都有M – 1次加法。对于一个给定的M，通过寻找操作次数最小时的N值来使得计算过程最优。一般来说，最优的N值处于 。

3.2 重叠相加（OLA）方法

为长度为L的信号序列块添加M – 1个0。

以重叠M – 1的部分的方式连续相加每一个序列，以去掉循环卷积时所重叠的M – 1部分而得到线性卷积。这个操作的复杂度为：2个长度N = L + M – 1的FFTs，每输出L点的M元的M – 1次加法；基本跟OLS方法的复杂度相同。

Figure 4

Figure 5

Figure 6

[math translate note]

[2015.08.04-13:18]