排序算法大杂烩（一）——基础排序
一、前言
排序算法也是面试中常常提及的内容，问的最多的应该是快速排序、堆排序。这些排序算法很基础，但是如果平时不怎么写代码的话，面试的时候总会出现各种bug。虽然思想都知道，但是就是写不出来。本文打算对各种排序算法进行一个汇总，像插入排序、冒泡排序、选择排序等就简单的介绍，重点关注快速排序和堆排序。需要提到的一点就是：插入排序，冒泡排序，归并排序，计数排序都是稳定的排序，而其他排序则都是不稳定的。
二、简单排序
1）插入排序
插入排序是很基本的排序，特别是在数据基本有序的情况下，插入排序的性能很高，基本可以达到O(N）。当然其最坏情况和平均情况时间复杂度都是O(N^2)。代码如下：
void insert_sort(int x[], int n)
{
int i, j;
for (i=1; i<n; i++) {
/*循环不变式：x[0...i-1]有序。每次迭代开始前，x[0...i-1]有序， 循环结束后i=n，x[0...n-1]有序*/
int key = x[i];
for (j=i; j>0 && x[j-1]>key; j--) {
x[j] = x[j-1];
}
x[j] = key;
}
}
2）希尔排序
希尔排序内部调用插入排序来实现，通过对N/2，N/4...1阶分别排序，最后得到整体的有序。
void shell_sort(int a[], int n)
{
for (int gap=n/2; gap>0; gap /=2) {
for (int i=gap; i<n; i++) {
int key = a[i], j;
for (j=i; j>=gap && key<a[j-gap]; j -= gap) {
a[j] = a[j-gap];
}
a[j] = key;
}
}
}
3）选择排序
选择排序的思想就是第i次选取第i小的元素放在位置i。比如第1次就选择最小的元素放在位置0，第2次选择第二小的元素放在位置1。选择排序最好和最坏时间复杂度都为O(N^2)。代码如下：
void select_sort(int x[], int n)
{
int i, j, min, tmp;
for (i=0; i<n-1; i++) {
min = i;
for (j=i+1; j<n; j++) {
if (x[j] < x[min])
min = j;
}
if (min != i)
tmp = x[i], x[i] = x[min], x[min] = tmp;//交换x[i]和x[min]
}
}
循环不变式：在外层循环执行前，x[0...i-1]包含a中最小的i个数，且有序。
初始时，i=0，x[0...-1]为空，显然成立。
每次执行完成后，x[0...i]包含x中最小的i+1个数，且有序。即第一次执行完成后，x[0...0]包含x最小的1个数，且有序。
循环结束后，i=n-1，则x[0...n-2]包含x最小的n-1个数，且已经有序。所以整个数组有序。
4）冒泡排序
冒泡排序时间复杂度跟选择排序相同。其思想就是进行n-1趟排序，每次都是把最小的数上浮，像鱼冒泡一样。最坏情况为O(N^2)。代码如下：
void bubble_sort(int x[], int n)
{
int tmp;
for (int i=0; i<n; i++) {
for (int j = n-1; j>=i+1; j--) {
if (x[j] < x[j-1])
tmp = x[j], x[j] = x[j-1], x[j-1] = tmp;
}
}
}
循环不变式：在循环开始迭代前，子数组x[0...i-1]包含了数组x[0..n-1]的i-1个最小值，且是排好序的。
对冒泡排序的一个改进就是在每趟排序时判断是否发生交换，如果一次交换都没有发生，则数组已经有序，可以不用继续剩下的趟数直接退出。改进后代码如下：
void bubble_sort_better(int x[], int n)
{
int tmp;
for (int i=0; i<n; i++) {
int sorted = 1;
for (int j = n-1; j>=i+1; j--) {
if (x[j] < x[j-1]) {
tmp = x[j], x[j] = x[j-1], x[j-1] = tmp;
sorted = 0;
}
}
if (sorted)
return ;
}
}
5）计数排序
假定数组为A[0...n-1],数组中存在重复数字，数组中最大数字为k，建立两个辅助数组B和C，B用于存储排序后的结果，C用于存储临时值。时间复杂度为O(N)，适用于数字范围较小的数组。具体见代码：const int N = 5; //数字个数
int b[N+1];
void count_sort(int a[], int n, int k) //k为数组最大数字
{
int c[k+1]; //辅助数组
for (int i=0; i<=k; i++)
c[i] = 0;
for (int j=0; j<n; j++)
c[a[j]] = c[a[j]] + 1; //C[i]包含等于i的元素个数
for (int i=1; i<=k; i++)
c[i] = c[i] + c[i-1]; //C[i]包含小于等于i的元素个数
for (int j=n-1; j>=0; j--) {
b[c[a[j]]-1] = a[j]; //结果存在B[0...N-1]中
c[a[j]] = c[a[j]] - 1;
}
}
扩展：如果代码中的 最后一个循环语句for (int j=n-1; j>=0; j--)改为for(int j=0; j<=n-1; j++)该代码仍然正确，只是排序不再稳定。
6）基数排序
基数排序的思想是对数字每一位分别排序
（注意这里必须是稳定排序，比如计数排序等，否则会导致结果错误），最后得到整体排序。假定对N个数字进行排序，如果数字有d位，每一位可能的最大值为K，则每一位的稳定排序需要O(N+K)时间，总的需要O(d(N+K))时间，当d为常数，K=O(N)时，总的时间复杂度为O(N)。代码省略。
7）归并排序
归并排序通过分治算法，先排序好两个子数组，然后将两个子数组归并。时间复杂度为O(NlgN）。代码如下：
/*归并排序代码*/
void merge_sort(int a[], int p, int r)
{
if (p < r) {
int q = p+(r-p)/2;
merge_sort(a, p, q);
merge_sort(a, q + 1, r);
merge(a, p, q, r);
}
}
void merge(int a[], int start, int mid, int end)
{
int n1 = mid - start + 1;
int n2 = end - mid;
int left[n1], right[n2];
int i, j;
for (i = 0; i < n1; i++) /* left holds a[start..mid] */
left[i] = a[start + i];
for (j = 0; j < n2; j++) /* right holds a[mid+1..end] */
right[j] = a[mid + 1 + j];
i = j = 0;
int k = start;
while (i < n1 && j < n2) {
if (left[i] < right[j])
a[k++] = left[i++];
else
a[k++] = right[j++];
}
while (i < n1) /* left[] is not exhausted */
a[k++] = left[i++];
while (j < n2) /* right[] is not exhausted */
a[k++] = right[j++];
}
扩展：归并排序的非递归实现怎么做？
归并排序的非递归实现其实是最自然的方式，先两两合并，而后再四四合并等，就是从底向上的一个过程。代码如下：
void merge_sort(int a[], int n)
{
int s=2,i;
while(s<=n){
i=0;
while(i+s<=n){
merge(a, i, i+s/2-1, i+s-1);
i+=s;
}
//处理末尾残余部分
merge(a, i, i+s/2-1, n-1);
s*=2;
}
//最后再从头到尾处理一遍
merge(a, 0, s/2-1, n-1);
}