排序算法之堆和堆排序

一、什么是堆

1. 堆实际上是一棵完全二叉树；
2. 对于n个关键字序列 [ K0，K1，…，K（n-1） ]，一般采用数组方式存储；
   
3. 任何一非叶节点的关键字满足如下性质：
   • 若ki<=k(2i+1）且ki<=k(2i+2)(0≤i≤ n-1），称之为小根堆；
   • 若ki>=k(2i+1）且ki>=k(2i+2)(0≤i≤ n-1），称之为大根堆.
   • 

二、堆排序

堆排序思想 充分利用了堆顶关键字最大或最小的特性，从而可以快速选取一组数中的最大值或最小值。

堆排序分为两个步骤：构堆建 和 调整堆。

以大根堆为例，堆排序过程如下：

1. 将初始待排序关键字序列(R0,R1....Rn-1)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
2. 将堆顶元素与堆尾元素交换，堆的长度减1， 此时得到新的无序区和新的有序区；
3. 由于交换后新的堆顶可能违反堆的性质， 因此需要对当前无序区调整为新堆；
4. 不断重复过程2和3直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成

三、算法实现

堆的基本操作分为向上调整和向下调整，利用向上调整操作构建堆，堆顶元素和堆尾交换后，堆长度减1，利用向下调整操作从堆顶开始调整生成新堆。

#include <iostream>
using namespace std;

inline void swap(int arr[], int a, int b) {
	int temp = arr[a];
	arr[a] = arr[b];
	arr[b] = temp;
}

// 向上调整堆	：从堆尾开始向堆顶调整
// 	arr	: 堆数组指针
//	n	： 堆尾元素位置
void shiftUp(int arr[], int n) {
	if (n < 1) {
		return;
	}
	int b = (n - 1) / 2;
	int a = n;
	while (a > 0) {
		if (arr[a] > arr[b]) {
			swap(arr, a, b);
			a = b;
			b = (b - 1) / 2;
		} else {
			break;
		}
	}
}

// 向下调整堆	：从堆顶开始向堆尾调整
// 	arr	: 堆数组指针
//	n	： 堆尾元素位置
void shiftDown(int arr[], int n) {
	if (n < 1) {
		return;
	}
	int a, b = 0;
	int maxLeaf = (n - 1) / 2;
	while (b <= maxLeaf) {
		a = 2 * b + 1;
		if (a < n && arr[a] < arr[a + 1]) {
			a++;
		}
		if (arr[b] < arr[a]) {
			swap(arr, b, a);
			b = a;
		} else {
			break;
		}
	}
}

// 堆排序算法
//	arr	： 待排序的数组指针
//	len	： 数组长度
void heapSort(int* arr, int len) {
	int index;
	// 构建堆
	for (index = 1; index < len; index++) {
		shiftUp(arr, index);
	}
	// 调整堆
	for (index = len - 1; index > 0;) {
		swap(arr, 0, index);
		index--;
		shiftDown(arr, index);
	}
}

// 测试算法
int main() {
	int arr[] = { 213, 43, 43, 123, 45, 52, 67, 234, 452, 5, 67 };
	int len = 11;

	cout << "Before sorting:" << endl;
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		cout << arr[i] << "\t";
	}
	cout << endl << endl;

	heapSort(arr, len);

	cout << "After Sorting:" << endl;
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		cout << arr[i] << "\t";
	}
	cout << endl;

	return 0;
}

执行结果如下：

四、算法分析

堆排序时间复杂度最好和最坏的情况下都是: O(n*log2(n))，堆排序空间复杂度为: O(1)

若关注排序最坏的情况，宜选择堆排序。